Question

18．設(shè)k∈R，動直線l₁：kx-y+k=0過定點(diǎn)A，動直線l₂：x+ky-5-8k=0過定點(diǎn)B，并且l₁與l₂相交于點(diǎn)P，則|PA|+|PB|的最大值為（　�。�

• A． $10\sqrt{2}$
• B． $5\sqrt{2}$
• C． $10\sqrt{5}$
• D． $5\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由動直線l₁：kx-y+k=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x+1=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，解得A（-1，0），同理可得B（5，8）．|AB|=10．當(dāng)PA⊥PB時，|PA|²+|PB|²=|AB|²=100，利用|PA|+|PB|≤$\sqrt{2（|PA{|}^{2}+|PB{|}^{2}）}$即可得出|PA|+|PB|的最大值．

解答 解：由動直線l₁：kx-y+k=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x+1=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，解得A（-1，0），同理可得B（5，8）．
∵|AB|=$\sqrt{（5+1）^{2}+（8-0）^{2}}$=10．
∴當(dāng)PA⊥PB時，|PA|²+|PB|²=|AB|²=100
∴|PA|+|PB|≤$\sqrt{2（|PA{|}^{2}+|PB{|}^{2}）}$=10$\sqrt{2}$
當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB|=5$\sqrt{2}$時取等號．
∴|PA|+|PB|的最大值為10$\sqrt{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了直線系、勾股定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．