Question

2．如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點P為體對角線的中點．若△PAC的正視圖的最高點與側(cè)視圖的每一個頂點相連所得的幾何體的體積為V₁，正方體外接球的體積為V₂，則$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$的值為（　　）

• A． $\frac{1}{4π}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{4π}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{36π}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{36π}$

Answer 1

分析 如圖所示，△PAC的正視圖的最高點P₁為正方形CDD₁C₁的中心．與側(cè)視圖的每一個頂點相連所得的幾何體為三棱錐P₁-P₂BC，其中點P₂為正方形BCC₁B₁的中心．體積V₁=$\frac{1}{3}{S}_{△{P}_{1}BC}$$•\frac{1}{2}a$．正方體外接球的直徑為正方體的對角線，長度為$\sqrt{3}$a，體積為V₂=$\frac{4}{3}π（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{3}$．即可得出．

解答 解：如圖所示，△PAC的正視圖的最高點P₁為正方形CDD₁C₁的中心．
與側(cè)視圖的每一個頂點相連所得的幾何體為三棱錐P₁-P₂BC，其中點P₂為正方形BCC₁B₁的中心．
體積V₁=$\frac{1}{3}{S}_{△{P}_{1}BC}$$•\frac{1}{2}a$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}a•a×\frac{1}{2}a$=$\frac{1}{24}{a}^{3}$
正方體外接球的直徑為正方體的對角線，長度為$\sqrt{3}$a，體積為V₂=$\frac{4}{3}π（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{3}$=$\frac{\sqrt{3}π{a}^{3}}{2}$．
則$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{24}{a}^{3}}{\frac{\sqrt{3}π{a}^{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{36π}$．
故選：C．

點評 本題考查了三視圖的有關(guān)知識、三棱錐的體積、正方體的性質(zhì)、球的體積計算公式，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．