設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，現(xiàn)給出下列不等式 
（1）|a-b|≤|a-c|+|b-c|；
（2）a2+
1
a2
≥a+
1
a
；
（3）|a-b|+
1
a-b
≥2；
（4）
a+3
-
a+1
≤
a+2
-
a
，
則其中正確個數(shù)是（　�。�
分析：利用絕對值不等式的性質(zhì)可判斷（1），利用換元法與作差法、配方法可判斷（2），利用基本不等式可判斷（3），利用分析法可判斷（4）．
解答：解：（1）∵）|a-b|=|（a-c）+（c-b）|≤|a-c|+|b-c|，故（1）正確；
（2）由于a＞0，令t=a+
1
a
（t≥2），則a2+
1
a2
-（a+
1
a
）=t2-t-2=t（t-1）-2≥2×1-2=0，即則a2+
1
a2
≥a+
1
a
，故（2）正確；
（3）不妨令a=1，b=2，則|a-b|+
1
a-b
=1-1=0＜2，故（3）錯誤；
（4）要證
a+3
-
a+1
≤
a+2
-
a
，
需證
a+3
+
a
≤
a+2
+
a+1
，
即證2a+3+2
a(a+3)
≤2a+3+2
(a+1)(a+2)
，
即證a2+3a≤a2+3a+2，即0≤2，顯然成立，故原式成立，故（4）正確；
綜上所述，正確個數(shù)是3．
故選D．
點評：本題考查不等式比較大小，考查絕對值不等式、基本不等式、配方法與分析法的應(yīng)用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：2013屆安徽省高二下學期期中考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知a、b、c是互不相等的非零實數(shù).若用反證法證明三個方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一個方程有兩個相異實根.

【解析】本試題主要考查了二次方程根的問題的綜合運用。運用反證法思想進行證明。

先反設(shè)，然后推理論證，最后退出矛盾。證明：假設(shè)三個方程中都沒有兩個相異實根，

則Δ1=4b2－4ac≤0，Δ2=4c2－4ab≤0，Δ3=4a2－4bc≤0

相加有a2－2ab+b2+b2－2bc+c2+c2－2ac+a2≤0，

（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2≤0.顯然不成立。

證明：假設(shè)三個方程中都沒有兩個相異實根，

則Δ1=4b2－4ac≤0，Δ2=4c2－4ab≤0，Δ3=4a2－4bc≤0.

相加有a2－2ab+b2+b2－2bc+c2+c2－2ac+a2≤0，

（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2≤0.                                      ①

由題意a、b、c互不相等，∴①式不能成立.

∴假設(shè)不成立，即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根.

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)a、b、c是互不相等的非零實數(shù),試證:三個方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0中至少有一個方程有兩個相異實根.

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