已知a、b、c是互不相等的非零實數(shù).若用反證法證明三個方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有一個方程有兩個相異實根.
【解析】本試題主要考查了二次方程根的問題的綜合運用。運用反證法思想進行證明。
先反設(shè),然后推理論證,最后退出矛盾。證明:假設(shè)三個方程中都沒有兩個相異實根,
則Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0,Δ3=4a2-4bc≤0
相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0,
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0.顯然不成立。
證明:假設(shè)三個方程中都沒有兩個相異實根,
則Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0,Δ3=4a2-4bc≤0.
相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0,
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0. ①
由題意a、b、c互不相等,∴①式不能成立.
∴假設(shè)不成立,即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根.
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1 |
a |
1 |
b |
1 |
c |
c-b |
b-a |
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011年浙江省高二下學期期中考試文科數(shù)學 題型:解答題
(12分)
已知a、b、c是互不相等的非零實數(shù).
求證:三個方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有一個方程有兩個相異實根.
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