已知函數(shù)f(x)=x2+(a-1)x+a為偶函數(shù).
(1)求a的值;
(2)設(shè)函數(shù),g(x)=
f(x)
x
,當(dāng)x∈[1,+∞]時(shí),不等式g(x)+f(m)+2m≥5恒成立,求m的取值范圍.
考點(diǎn):函數(shù)恒成立問(wèn)題
專(zhuān)題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)利用偶函數(shù)的性質(zhì),f(-x)=f(x),可求得a的值;
(2)依題意,當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),不等式g(x)+f(m)+2m≥5恒成立?-m2-2m+4≤x+
1
x
恒成立,構(gòu)造函數(shù)h(x)=x+
1
x
,利用雙鉤函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可求得h(x)min,從而解不等式-m2-2m+4≤h(x)min,即可.
解答: 解:(1)∵f(x)=x2+(a-1)x+a為偶函數(shù),
∴f(-x)=(-x)2+(a-1)•(-x)+a=x2-(a-1)x+a=x2+(a-1)x+a=f(x),
∴2(a-1)x=0恒成立,故a=1;
(2)由(1)知,a=1,f(x)=x2+1,
∴g(x)=
f(x)
x
=x+
1
x
,
∵當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),不等式g(x)+f(m)+2m≥5恒成立?x∈[1,+∞)時(shí),x+
1
x
+m2+1+2m≥5恒成立?x∈[1,+∞)時(shí),-m2-2m+4≤x+
1
x
恒成立,
令h(x)=x+
1
x

則x∈[1,+∞)時(shí),-m2-2m+4≤h(x)min,
∵雙鉤函數(shù)h(x)=x+
1
x
在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴h(x)min=h(1)=2,
∴-m2-2m+4≤2,即m2+2m-2≥0,
解得:m≥
3
-1
或m≤-
3
-1

∴m的取值范圍是(-∞,-1-
3
]∪[
3
-1,+∞).
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題,考查函數(shù)的奇偶性單調(diào)性與最值,考查構(gòu)造函數(shù)思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合運(yùn)用,屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

復(fù)數(shù)=z=i3(1+i)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(  )
A、第一象限B、第二象限
C、第三象限D、第四象限

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足下列條件:
(1)對(duì)?x∈R,函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)<0恒成立;
(2)函數(shù)y=f(x+2)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-2,0)對(duì)稱(chēng).
(3)對(duì)?x,y∈R,有f(x2-8x+21)+f(y2-6y)>0恒成立,則當(dāng)0<x<4時(shí),x2+y2的取值范圍是多少?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,過(guò)拋物線(xiàn)x2=2py (p>0)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于點(diǎn)A、B,交準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)C,若|AC|=2|AF|,且|BF|=8,則此拋物線(xiàn)的方程為(  )
A、x2=4y
B、x2=8 y
C、x2=2y
D、x2=16y

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知AD、BE分別是△ABC的邊BC、AC上的中線(xiàn),設(shè)
AD
=
a
,
BE
=
b
,且
BC
=λ
a
b
,則λ+μ=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

對(duì)于任意兩實(shí)數(shù)a,b,定義運(yùn)算“⊕”如下:a⊕b=
a,a≤b
b,a>b
,設(shè)函數(shù)f(x)=log
1
2
(3x-2)⊕log2x,若f(n)=-1,求實(shí)數(shù)n的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

函數(shù)y=log2(2x-x2)的單調(diào)遞增區(qū)間是
 
,單調(diào)遞減區(qū)間是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
1
2
ax2+
2
3
a(a>0)
(1)試求計(jì)論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當(dāng)x≥0時(shí),f(x)>0恒成立,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在四面體O-ABC中,點(diǎn)M在OA上,且OM=2MA,N為BC的中點(diǎn),若
OG
=
1
3
OA
+
x
4
OB
+
x
4
OC
,則使G與M,N共線(xiàn)的x的值為( 。
A、1
B、2
C、
2
3
D、
4
3

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