【題目】已知函數(shù), .

(Ⅰ)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)方程有3個(gè)不同的實(shí)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(Ⅲ)當(dāng)時(shí),若對(duì)于任意的,都存在,使得,求滿足條件的正整數(shù)的取值的集合.

【答案】(Ⅰ)單調(diào)增區(qū)間為, 的單調(diào)減區(qū)間為

; (Ⅱ)當(dāng)時(shí),方程有三個(gè)不同的解,1, ; (Ⅲ).

【解析】試題分析:

(Ⅰ)在時(shí), ,求出導(dǎo)數(shù),由不等式得增區(qū)間,由不等式得減區(qū)間;

(Ⅱ)方程,即為,有一根為,然后有,這可根據(jù)的正負(fù)分類討論確定;

(Ⅲ)當(dāng) 時(shí), ,由導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)上是增函數(shù),這樣可得當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,此時(shí),因此只要,由此求出的范圍,

而這還需用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性,才能得出結(jié)論.

試題解析:

(Ⅰ)當(dāng), 時(shí), ,

從而 ,

,

的單調(diào)增區(qū)間為, 的單調(diào)減區(qū)間為

(Ⅱ)方程,即,即

所以當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不同的解,

當(dāng)時(shí),方程有三個(gè)不同的解,1,

當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不同的解,1.

綜上,當(dāng)時(shí),方程有三個(gè)不同的解,1,

(Ⅲ)當(dāng), 時(shí), , ,

所以函數(shù)上是增函數(shù),

.

所以當(dāng)時(shí), ,

當(dāng)時(shí),

所以,

因?yàn)閷?duì)任意的,都存在,使得,

從而,

所以,即,即

因?yàn)?/span>單調(diào)遞增,

滿足,而,不滿足題意,所以時(shí),均不滿足題意,

所以滿足條件的正整數(shù)的取值的集合為.

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整理評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù),將分?jǐn)?shù)以為組距分成組: , , , , ,得到A餐廳分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖,和B餐廳分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表:

B餐廳分?jǐn)?shù)頻數(shù)分布表

分?jǐn)?shù)區(qū)間

頻數(shù)

定義學(xué)生對(duì)餐廳評(píng)價(jià)的“滿意度指數(shù)”如下:

分?jǐn)?shù)

滿意度指數(shù)

(Ⅰ)在抽樣的100人中,求對(duì)A餐廳評(píng)價(jià)“滿意度指數(shù)”為的人數(shù);

(Ⅱ)從該校在A,B兩家餐廳都用過(guò)餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人進(jìn)行調(diào)查,試估計(jì)其對(duì)A餐廳評(píng)價(jià)的“滿意度指數(shù)”比對(duì)B餐廳評(píng)價(jià)的“滿意度指數(shù)”高的概率;

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⑤若關(guān)于x的不等式(a2﹣1)x2﹣(a﹣1)x﹣1<0的解集為R,則a的取值范圍為
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