Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²-3x，且在x=1時(shí)函數(shù)f（x）取得極值．
（Ⅰ）求a的值及f（x）的極值；
（Ⅱ）若g（x）=x²-2x-1（x＞0），證明：當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）的圖象恒在f（x）的上方．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）先求函數(shù)的定義域，然后根據(jù)在x=1時(shí)函數(shù)f（x）取得極值求出a的值，最后根據(jù)f′（x）＜0可求出函數(shù)的減區(qū)間，f′（x）＞0可求出函數(shù)的增區(qū)間；
（II）設(shè)F（x）=f（x）-g（x），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)F（x）的最大值，從而可判定F（x）的符號(hào)，即可證得g（x）的圖象恒在f（x）圖象的上方．

解答： 解：（I）由題可知，函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x＞0}，
f′（x）=

1

x

+2ax-3=

2ax2-3x+1

x

，
∵x=1處函數(shù)f（x）取得極值
∴f′（1）=0，即2a-3+1=0，解得a=1
即f′（x）=

(2x-1)(x-1)

x

當(dāng)x∈（0，

1

2

）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（

1

2

，1）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，

1

2

），（1，+∞），函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（

1

2

，1）
（II）證明：設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=lnx-x+1，F(xiàn)′（x）=

1-x

x

∵當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0
∴F（x）≤F（1）=0即f（x）＜g（x）恒成立，從而g（x）的圖象恒在f（x）圖象的上方．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性和恒成立問(wèn)題以及不等式的證明，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．