Question

17．從橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)P向x軸作垂線(xiàn)，垂足恰為右焦點(diǎn)F₂，A是橢圓與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且AB∥OP（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），則該橢圓的離心率是（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 依題意，可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)P（c，$\frac{^{2}}{a}$），由AB∥OP⇒k_AB=k_OP⇒b=c，從而可得答案．

解答 解：依題意，設(shè)P（c，y₀）（y₀＞0），
則$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}$=1，
∴y₀=$\frac{^{2}}{a}$，
∴P（c，$\frac{^{2}}{a}$），
又A（a，0），B（0，b），AB∥OP，
∴k_AB=k_OP，即$\frac{-a}$=$\frac{\frac{^{2}}{a}}{c}$=$\frac{^{2}}{ac}$，
∴b=c．
設(shè)該橢圓的離心率為e，則e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{c}^{2}}{^{2}+{c}^{2}}$=$\frac{{c}^{2}}{2{c}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴橢圓的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)（c，$\frac{^{2}}{a}$）是關(guān)鍵，考查分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題