Question

7．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1有公共的焦點，且它們的離心率互為倒數(shù)，則該橢圓的方程是$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$．

Answer 1

分析 由雙曲線的方程求出c和離心率，再由題意列出方程組求出a和b，代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．

解答 解：由雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1得c²=1+2=3，
則焦點坐標(biāo)是（-$\sqrt{3}$，0）和（$\sqrt{3}$，0），且離心率e=$\sqrt{3}$，
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=^{2}+3}\\{\frac{\sqrt{3}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，解得a=3、b²=6，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$，
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$．

點評 本題考查雙曲線的簡單的幾何性質(zhì)，以及待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題．