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某次網球比賽分四個階段，只有上一階段的勝者，才能參加繼續(xù)下一階段的比賽，否則就被淘汰，選手每闖過一個階段，個人積10分，否則積0分．甲、乙兩個網球選手參加了此次比賽．已知甲每個階段取勝的概率為
1
2
，乙每個階段取勝的概率為
2
3
．
（1）求甲、乙兩人最后積分之和為20分的概率；
（2）設甲的最后積分為X，求X的分布列和數學期望．
考點：離散型隨機變量的期望與方差,相互獨立事件的概率乘法公式
專題：應用題,概率與統(tǒng)計
分析：（1）甲、乙兩人最后積分之和為20分分為：甲得0分、乙得20分；甲得10分、乙得10分；甲得20分、乙得0分，即可求出概率；
（2）X的取值可為：0，10，20，30，40，求出相應的概率，即可求X的分布列和數學期望．
解答： 解：（1）設“甲、乙兩人最后積分之和為20分”為事件A，“甲得0分、乙得20分”為事件B，“甲得10分、乙得10分”為事件C，“甲得20分、乙得0分”為事件D，
又P（B）=(1-
1
2
)(
2
3
)2(1-
2
3
)=
2
27
，P（C）=
1
2
(1-
1
2
)•
2
3
•(1-
2
3
)=
1
18
，P（D）=(
1
2
)2(1-
1
2
)(1-
2
3
)=
1
24
，
P（A）=P（B+C+D）=P（B）+P（C）+P（D）=
37
216
；（6分）
（2）X的取值可為：0，10，20，30，40，
P（X=0）=1-
1
2
=
1
2
，P（X=10）=
1
2
（1-
1
2
）=
1
4
，P（X=20）=(
1
2
)2(1-
1
2
)=
1
8
，
P（X=30）=(
1
2
)3(1-
1
2
)=
1
16
，P（X=40）=(
1
2
)4=
1
16

所以X的分布列可為
X010203040
P
1
2
1
4
1
8
1
16
1
16
數學期望EX=0×
1
2
+10×
1
4
+20×
1
8
+30×
1
16
+40×
1
16
=
75
8
（12分）
點評：本題這種類型是近幾年高考題中經常出現的，考查離散型隨機變量的分布列和期望，確定變量的取值，正確求概率是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

若點A（1，m-1，1）和點B（-1，-3，-1）關于原點對稱，則m=（　�。�
A、-4B、4C、2D、-2

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，F1，F2是離心率為
2
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點，拋物線y2=4x與橢圓C在第一象限的交點到x=-1的距離為-3+3
2
．設A，B是C上的兩個動點，線段AB的中點M在直線x=-
1
2
上，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在點M，使以PQ為直徑的圓經過點F2，若存在，求出M點坐標，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

甲乙兩個學校高三年級學生比為11：10，為了了解兩個學校全體高三年級學生在省統(tǒng)考的數學成績情況，采用分層抽樣方法從兩個學校一共抽取了105名學生的數學成績，并作出了如下的頻數分布統(tǒng)計表，規(guī)定考試成績在[120，150]內為優(yōu)秀．
甲校：
分組 [70，80） [80，90） [90，100） [100，110）
頻數 2 3 10 15
分組 [110，120） [120，130） [130，140） [140，150）
頻數 15 x 3 1
乙校：
分組 [70，80） [80，90） [90，100） [100，110）
頻數 1 2 9 8
分組 [110，120） [120，130） [130，140） [140，150）
頻數 10 10 y 3
（1）計算x，y的值，并根據抽樣結果分別估計甲校和乙校的優(yōu)秀率；
（2）若把頻率作為概率，現從乙校學生中任選3人，求優(yōu)秀學生人數ξ的分布列和數學期望．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞c）的離心率為
2
2
，且經過點P（1，
2
2
）
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設直線x=my+1交橢圓E于A，B兩點，射線OA，OB分別交直線l：x=2于M，N，記△OAB，△OMN的面積分別為S1，S2，λ=
S2
S1
，當m∈[
1
2
，
2
2
]時，求λ的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

某高校從參加今年自主招生考試的學生中，隨機抽取容量為50的學生成績樣本，得頻率分布表如下：
組號 分組 頻數 頻率
第一組 [230，235） 8 0.16
第二組 [235，240） ① 0.24
第三組 [240，245） 15 ②
第四組 [245，250） 10 0.20
第五組 [250，255） 5 0.10
合計 50 1.00
（l）寫出表中①②位置的數據；
（2）為了選拔出更優(yōu)秀的學生，高校決定在第三組、第四組、第五組中用分層抽樣法，抽取6名學生進行第二輪考核，分別求第三、第四、第五各組參加考核的人數；
（3）在（2）的前提下，高校決定在這6名學生中錄取2名學生，其中有ξ名第三組的，求ξ的數學期望．

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科目：高中數學 來源： 題型：

國家標準規(guī)定：輕型汽車的氮氧化物排放量不得超過80mg/km．根據這個標準，檢測單位從某出租車公司運營的A、B兩種型號的出租車中分別抽取6輛，對其氮氧化物的排放量進行檢測，檢測結果記錄如下：（單位：mg/km）
A 85 80 85 60 90 80
B 70 85 95 x 75 65
由于表格被污損，數據x看不清，統(tǒng)計員只記得A、B兩種出租車的氮氧化物排放量的平均值相等．
（1）求表格中x的值；
（2）從被檢測的6輛B種型號的出租車中任取3輛，記事件A：至少有兩輛出租車氮氧化物排放量未超過80mg/km，求事件A的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知△ABC是邊長為3的等邊三角形，點D、E分別是邊AB，AC上的點，且滿足
AD
DB
=
CE
EA
=
1
2
．將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，并使得平面A1DE⊥平面BCED．
（1）求證：A1D⊥EC；
（2）設P為線段BC上的一點，試求直線PA1與平面A1BD所成角的正切的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}，{bn}滿足a1=2，2an=1+anan+1，bn=an-1，數列{bn}的前n項和為Sn，Tn=S2n-Sn．
（1）求數列{bn}的通項公式；
（2）求證：Tn+1＞Tn；
（3）求證：當n≥2時，S2n≥
7n+11
12
．

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