Question

某次網(wǎng)球比賽分四個階段，只有上一階段的勝者，才能參加繼續(xù)下一階段的比賽，否則就被淘汰，選手每闖過一個階段，個人積10分，否則積0分．甲、乙兩個網(wǎng)球選手參加了此次比賽．已知甲每個階段取勝的概率為

1

2

，乙每個階段取勝的概率為

2

3

．
（1）求甲、乙兩人最后積分之和為20分的概率；
（2）設(shè)甲的最后積分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計

分析：（1）甲、乙兩人最后積分之和為20分分為：甲得0分、乙得20分；甲得10分、乙得10分；甲得20分、乙得0分，即可求出概率；
（2）X的取值可為：0，10，20，30，40，求出相應(yīng)的概率，即可求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）設(shè)“甲、乙兩人最后積分之和為20分”為事件A，“甲得0分、乙得20分”為事件B，“甲得10分、乙得10分”為事件C，“甲得20分、乙得0分”為事件D，
又P（B）=(1-

1

2

)(

2

3

)2(1-

2

3

)=

2

27

，P（C）=

1

2

(1-

1

2

)•

2

3

•(1-

2

3

)=

1

18

，P（D）=(

1

2

)2(1-

1

2

)(1-

2

3

)=

1

24

，
P（A）=P（B+C+D）=P（B）+P（C）+P（D）=

37

216

；（6分）
（2）X的取值可為：0，10，20，30，40，
P（X=0）=1-

1

2

=

1

2

，P（X=10）=

1

2

（1-

1

2

）=

1

4

，P（X=20）=(

1

2

)2(1-

1

2

)=

1

8

，
P（X=30）=(

1

2

)3(1-

1

2

)=

1

16

，P（X=40）=(

1

2

)4=

1

16

所以X的分布列可為

X	0	10	20	30	40
P	1 2	1 4	1 8	1 16	1 16

數(shù)學(xué)期望EX=0×

1

2

+10×

1

4

+20×

1

8

+30×

1

16

+40×

1

16

=

75

8

（12分）

點(diǎn)評：本題這種類型是近幾年高考題中經(jīng)常出現(xiàn)的，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，確定變量的取值，正確求概率是關(guān)鍵．