Question

17．△ABC是邊長為3的等邊三角形，$\overrightarrow{BF}$=λ$\overrightarrow{BC}$（$\frac{1}{2}$＜λ＜1），過點(diǎn)F作DF⊥BC交AC邊于點(diǎn)D，交BA的延長線于點(diǎn)E．

（1）當(dāng)λ=$\frac{2}{3}$時(shí)，設(shè)$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow$，用向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{EF}$；
（2）當(dāng)λ為何值時(shí)，$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{FC}$取得最大值，并求出最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow$，通過向量的線性運(yùn)算，用向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{EF}$；
（Ⅱ）用λ表示$\overrightarrow{AE}$與$\overrightarrow{FC}$的模，然后求解數(shù)量積，利用二次函數(shù)的最值求解即可．

解答 滿分（12分）．
解：（Ⅰ）由題意可知：$\overrightarrow{BF}=\frac{2}{3}\overrightarrow b$，且$|{\overrightarrow{BF}}|=3×\frac{2}{3}=2$，-----------------（1分）
$|{\overrightarrow{BE}}|=4$，故$\overrightarrow{BE}=\frac{4}{3}\overrightarrow{BA}=\frac{4}{3}\overrightarrow a$，-------------------（2分）
$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{BF}-\overrightarrow{BE}=-\frac{4}{3}\overrightarrow a+\frac{2}{3}\overrightarrow b$---------------------（5分）
（Ⅱ）由題意，$|{\overrightarrow{BF}}|=3λ，|{\overrightarrow{FC}}|=3-3λ$，--------------------（6分）
$|{\overrightarrow{BE}}|=6λ，|{\overrightarrow{AE}}|=6λ-3$，---------------------（8分）
$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{FC}=（6λ-3）（3-3λ）cos60°=-9{λ^2}+\frac{27}{2}λ-\frac{9}{2}$-----（10分）
當(dāng)$λ=-\frac{{\frac{27}{2}}}{-9×2}=\frac{3}{4}$$∈（\frac{1}{2}，1）$時(shí)，---------------------（11分）
$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{FC}$有最大值$\frac{9}{16}$．---------------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量基本定理，向量共線定理，向量的數(shù)量積，二次函數(shù)最值等知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．