橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長(zhǎng)為，相應(yīng)于焦點(diǎn)F（c，0）（）的準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)A，|OF|=2|FA|，過(guò)點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；

（Ⅱ）若，求直線PQ的方程；

（Ⅲ）設(shè)（），過(guò)點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明:.

（Ⅰ）橢圓的方程為，離心率.（Ⅱ）直線PQ的方程為或,（Ⅲ）同解析。


解析:

（Ⅰ）解：由題意，可設(shè)橢圓的方程為.

由已知得解得

所以橢圓的方程為，離心率.

（Ⅱ）解：由（1）可得A（3，0）.設(shè)直線PQ的方程為.由方程組

得

依題意，得.

設(shè)，則，     ①

.    ② 

由直線PQ的方程得.于是

.    ③

∵，∴.    ④.

 由①②③④得，從而.

所以直線PQ的方程為或.

（Ⅲ）證明：.

由已知得方程組(注意)

解得. 因，

故.

而，所以.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長(zhǎng)為2
2
，相應(yīng)于焦點(diǎn)F（c，0）（c＞0）的準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)A，|OF|=2|FA|，過(guò)點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程及離心率；
（2）若
OP
•
OQ
=0，求直線PQ的方程；
（3）設(shè)
AP
=λ
AQ
（λ＞1），過(guò)點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線l的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明
FM
=-λ
FQ
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長(zhǎng)為2
2
，相應(yīng)于焦點(diǎn)F（c，0）（c＞0）的準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)A，|OF|=2|FA|，過(guò)點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程及離心率；
（2）若
OP
•
OQ
=0，求直線PQ的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

橢圓的中心是原點(diǎn)O，短軸長(zhǎng)為2
3
，左焦點(diǎn)為F（-c，0）（c＞0），相應(yīng)的準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)A，且點(diǎn)F分
AO
的比為3，過(guò)點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若PF⊥QF，求直線PQ的方程；
（Ⅲ）設(shè)
AQ
=λ
AP
（λ＞1），點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q′，求證：
FQ′
=-λ
FP
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•煙臺(tái)二模）已知橢圓的中心是原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，過(guò)其右焦點(diǎn)F作斜率為1的直線l交橢圓于A．B兩點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)C，使四邊形OACB為平行四邊形．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若△OAC的面積為15
5
，求這個(gè)橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012年蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-1 2.2橢圓練習(xí)卷（解析版） 題型：解答題

橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長(zhǎng)為，相應(yīng)于焦點(diǎn)F（c，0）（）的準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)A，|OF|=2|FA|，過(guò)點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn) .

（1）求橢圓的方程及離心率；

（2）若，求直線PQ的方程；

（3）設(shè)（），過(guò)點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明.

 

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