Question

（2011•合肥三模）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若f（x+1）與f（x-1）都是奇函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，100]上至少有個(gè)

50

零點(diǎn)．

Answer 1

分析：用條件f（x+1）與f（x-1）都是奇函數(shù)，推導(dǎo)出原函數(shù)的兩個(gè)對稱中心（即得零點(diǎn)）和周期，再用周期性在[0，100]內(nèi)求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

解答：解：∵f（x+1）與f（x-1）都是奇函數(shù)
∴f（-x+1）=-f（x+1）---------------①
f（-x-1）=-f（x-1）-----------------②
由①知f（x）關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱，∴f（1）=0
由②知f（x）關(guān)于點(diǎn)（-1，0）對稱，∴f（-1）=0
又由②得f（-x+1）=-f（x-3）---------③
聯(lián)立①③可得：f（x+1）=f（x-3）
∴f（x）=f（x-4）
∴原函數(shù)周期T=4
∴f（1+mT）=f（1+4m）=0（m∈N）
f（-1+nT）=f（-1+4n）=0（n∈N）
令0≤1+4m≤100，0≤-1+4n≤100
得：-

1

4

≤m≤

99

4

，

1

4

≤n≤

101

4

又∵m，n∈N
∴m，n各有25個(gè)取值
∴在[0，100]上至少有50個(gè)零點(diǎn)
故答案為：50

點(diǎn)評：本題以零點(diǎn)為載體考查函數(shù)的對稱性和奇偶性，要注意已知條件的轉(zhuǎn)化和函數(shù)性質(zhì)的靈活應(yīng)用．屬簡單題