Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，AB=2，∠BAD=120°，PA⊥平面ABCD，M，N分別是BC，PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：AM⊥平面PAD；
（Ⅱ）若H為∠ADH=45°上的動(dòng)點(diǎn)，PA=2與平面PA⊥所成最大角的正切值為

6

2

，求二面角M-AN-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出AM⊥BC，AM⊥AD，由線面垂直得PA⊥AM，由此能證明AM⊥平面PAD．
（Ⅱ）設(shè)H為PD上任意一點(diǎn)，連接AH、MH，由AM⊥平面PAD，得∠MHA為MH與平面PAD所成的角，過M作MS⊥AN于S，連接OS，由已知條件得∠MSO為二面角M-AN-C的平面角，由此能求出二面角M-AN-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：由四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，
可得∠ABC=60°，△ABC為正三角形．
因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，所以AM⊥BC．…（2分）
又BC∥AD，因此AM⊥AD．
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AM?平面ABCD，所以PA⊥AM．…（4分）
而PA∩AD=A，所以AM⊥平面PAD．…（5分）
（Ⅱ）解：設(shè)H為PD上任意一點(diǎn)，連接AH、MH
由（Ⅰ）知：AM⊥平面PAD．
則∠MHA為MH與平面PAD所成的角．…（7分）
在Rt△MAH中，AM=

3

，
所以當(dāng)AH最短時(shí)，∠MHA最大，…（8分）
即當(dāng)AH⊥PD時(shí)，∠MHA最大，
此時(shí)tan∠MHA=

AM

AH

=

3

AH

=

6

2

．
因此AH=

2

．又AD=2，
所以∠ADH=45°，于是PA=2．…（10分）
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，PA?平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD．
過M作MO⊥AC于O，則由面面垂直的性質(zhì)定理可知：MO⊥平面PAC，
所以MO⊥AN，過M作MS⊥AN于S，連接OS，AN⊥平面MSO，
所以AN⊥SO，則∠MSO為二面角M-AN-C的平面角．…（12分）
在Rt△AOM中，OM=AMsin30°=

3

2

，OA=AMcos30°=

3

2

又N是PC的中點(diǎn)，PA=AC，∴AN⊥PC且AN=NC
在Rt△ASO中，SO=AOsin45°=

3 2

4

，
又SM=

MO2+SO2

=

30

4

…（13分）
在Rt△MSO中，cosMSO=

SO

SM

=

15

5

即二面角M-AN-C的余弦值為

15

5

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．