Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³-（a+b）x²+bx+c，其中a≥0，b，c∈R
（1）若f（）=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)M表示f′（0）與f′（1）兩個(gè)數(shù)中的最大值，求證：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，|f′（x）|≤M．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，得a=b．當(dāng)a＞0時(shí)，通過求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系列出表格即可得出單調(diào)區(qū)間；
（2）對a，b分類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可證明．
解答：解：（1）由，得a=b．
當(dāng)a=0時(shí)，則b=0，f（x）=c不具備單調(diào)性．
當(dāng)a＞0時(shí)，可得f（x）=ax³-2ax²+ax+c．
由f^′（x）=a（3x²-4x+1）=0得x₁=，x₂=1．
列表：

x	（-∞，）		（，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+		-		+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由表可得，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，）及（1，+∞）．單調(diào)減區(qū)間是．
（2）當(dāng)a=0時(shí)，f^′（x）=-2bx+b，
若b=0，則f^′（x）=0，
若b＞0，或b＜0，f^′（x）在[0，1]是單調(diào)函數(shù)，-f^′（0）=f^′（1）≤f^′（x）≤f^′（0），
或-f^′（1）=f^′（0）≤f^′（x）≤f^′（1）．
∴|f^′（x）|≤M．
當(dāng)a＞0時(shí)，f^′（x）=3ax²-2（a+b）x+b=3．
①當(dāng)或時(shí)，則f^′（x）在[0，1]上是單調(diào)函數(shù)，
∴f^′（1）≤f^′（x）≤f^′（0）或f^′（0）≤f^′（x）≤f^′（1），且f^′（0）+f^′（1）=a＞0．
∴-M≤f^′（x）≤M．
②當(dāng)，即-a＜b＜2a，則．
（i） 當(dāng)-a＜b≤時(shí)，則0＜a+b≤．
∴==≥＞0．
∴-M＜f^′（x）≤M．
（ii） 當(dāng)＜b＜2a時(shí)，則＜0，即a²+b²-＜0．
∴=＞＞0，即．
∴-M＜f^′（x）≤M．
綜上所述：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，|f^′（x）|≤M．
點(diǎn)評：熟練掌握導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系并列出表格、分類討論的思想方法、二次函數(shù)的單調(diào)性設(shè)解題的關(guān)鍵．