平面內(nèi)有向量
OA
=（1，7），
OB
=（5，1），
OP
=（2，1），點X為直線OP上的一個動點．
（1）當
XA
•
XB
取最小值時，求
OX
的坐標；
（2）當點X滿足（1）的條件和結(jié)論時，求cos∠AXB的值．
分析：（1）因為點X在直線OP上，向量
OX
與
OP
共線，可以得到關(guān)于
OX
坐標的一個關(guān)系式，再根據(jù)
XA
•
XB
的最小值，求得
OX
的坐標，
（2）cos∠AXB是
XA
與
XB
夾角的余弦，利用數(shù)量積的知識易解決．
解答：解：（1）設(shè)
OX
=（x，y），
∵點X在直線OP上，∴向量
OX
與
OP
共線．
又
OP
=（2，1），∴x-2y=0，即x=2y．
∴
OX
=（2y，y）．又
XA
=
OA
-
OX
，
OA
=（1，7），
∴
XA
=（1-2y，7-y）．
同樣
XB
=
OB
-
OX
=（5-2y，1-y）．
于是
XA
•
XB
=（1-2y）（5-2y）+（7-y）（1-y）=5y2-20y+12=5（y-2）2-8．
∴當y=2時，
XA
•
XB
有最小值-8，此時
OX
=（4，2）．
（2）當
OX
=（4，2），即y=2時，有
XA
=（-3，5），
XB
=（1，-1）．
∴|
XA
|=
34
，|
XB
|=
2
．
∴cos∠AXB=
XA
•
XB
|
XA
||
XB
|
=-
4
17
17
．
點評：（1）中求最值問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決，因此解題關(guān)鍵在于尋找變量，以構(gòu)造函數(shù)；也可以利用
XA
與
XB
反向時，
XA
•
XB
有最小值進行求解．而（2）中即為數(shù)量積定義的應(yīng)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•花都區(qū)模擬）如圖，平面內(nèi)有三個向量
OA
，
OB
，
OC
，其中
OA
與
OB
的夾角為60°，
OA
與
OC
、
OB
與
OC
的夾角都為30°，且|
OA
|=|
OB
|=1，|
OC
|=2
3
，若
OC
=λ
OA
+μ
OB
，則λ+μ的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•寶雞模擬）如圖，平面內(nèi)有三個向量
OA
，
OB
，
OC
，其中
OA
與
OB
的夾角為150°，
OA
與
OC
的夾角為30°，|
OA
|=3，|
OB
|=2
3
，|
OC
|=2
3
，若
OC
=λ
OA
+μ
OB
，則λ+μ的值等于（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)（理）如圖，平面內(nèi)有三個向量
OA
、
OB
、
OC
，其中
OA
與
OB
的夾角為120°，
OA
與
OC
的夾角為30°，且|
OA
|=|
OB
|=2，|
OC
|=4
3
，若
OC
=λ
OA
+μ
OB
（λ、μ∈R），則λ+μ的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

平面內(nèi)有向量
OA
=（1，7），
OB
=（5，1），
OP
=（2，1），點X為直線OP上的一個動點．
（1）當
XA
•
XB
取最小值時，求
OX
的坐標；
（2）當點X滿足（1）的條件和結(jié)論時，求cos∠AXB的值．

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