Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+a）-

1

2

x²，x∈[0，2]，a＞0．
（1）若存在x₀∈[0，2]，使得函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線斜率k≤1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線斜率k≤1，分離參數(shù)，可得a≥

1

x0+1

-x₀，求出右邊的最小值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）確定函數(shù)在[0，2]上單調(diào)遞減，即可求函數(shù)f（x）的最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=ln（x+a）-

1

2

x²，
∴f′（x）=

1

x+a

-x，
∴

1

x0+a

-x0≤1，
∴a≥

1

x0+1

-x₀，
由y=

1

x+1

-x，可得y′=

1

(x+1)2

-1，
∴函數(shù)在[0，2]上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)的最小值為-

5

3

，
∴a≥-

5

3

；
（2）f′（x）=

1

x+a

-x=

-x2-ax+1

x+a

，
∵x∈[0，2]，a＞0，
∴f′（x）＜0，
∴函數(shù)在[0，2]上單調(diào)遞減，
∴x=2時(shí)，函數(shù)取得最小值f（2）=ln（2+a）-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．