Question

如圖展示了一個由區(qū)間（0，1）到實數(shù)集R的映射過程：區(qū)間（0，1）中的實數(shù)m對應(yīng)數(shù)軸上的點M，如圖①；將線段AB圍成一個圓，使兩端點A、B恰好重合，如圖②；再將這個圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y軸上，點A的坐標(biāo)為（0，1），在圖形變化過程中，圖①中線段AM的長度對應(yīng)于圖③中的弧ADM的長度，如圖③．圖③中直線AM與x軸交于點N（n，0），則m的象就是n，記作f（m）=n．
給出下列命題：
①f（

1

4

）=1；
②f（x）在定義域（0，1）上單調(diào)遞增；
③f（x）為偶函數(shù)； ④f（x）=-f（1-x）；
⑤關(guān)于m的不等式|f（m）|≤1的解集為[

1

4

，1]．
則所有正確的命題序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①m=

1

4

時，點M恰好處在左半圓弧的中點上，求出直線AM的方程得出N的橫坐標(biāo)；
②由圖3知點M的運動規(guī)律，得出函數(shù)值的變化情況和單調(diào)性；
③由函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱來判定命題的正誤；
④由圖3中圓關(guān)于Y軸的對稱性以及f（x）=-f（1-x），判定f（x）圖象的對稱性；
⑤由f（m）的值是關(guān)于原點對稱，且f（

1

4

）=-1，求出不等式|f（m）|≤1的解集．

解答： 解：①當(dāng)m=

1

4

時，M恰好處在左半圓弧的中點（-

1

2π

，1-

1

2π

）上，
此時直線AM的方程為y=x+1，直線與x軸的交點的橫坐標(biāo)是-1，
∴f（

1

4

）=-1；
∴命題①錯誤；
②由圖3知，當(dāng)m由0增大到1時，點M由A運動到B，
此時N由x的負(fù)半軸向正半軸運動，
由此可知，N點的橫坐標(biāo)逐漸變大，
∴f（x）在定義域（0，1）上是增函數(shù)；
∴命題②正確；
③∵f（x）的定義域是（0，1），不關(guān)于原點對稱，
∴f（x）是非奇非偶的函數(shù)；
∴命題③錯誤；
④∵f（x）=-f（1-x），
∴f（x+

1

2

）=-f（1-x-

1

2

）
f（

1

2

+x）=-f（

1

2

-x）
∴f（x）的圖象關(guān)于點（

1

2

，0）對稱；
由圖3知，當(dāng)M點的位置離中間位置時，N點關(guān)于Y軸對稱，此時函數(shù)值互為相反數(shù)，
即f（x）的圖象關(guān)于點（

1

2

，0）對稱；
∴命題④正確；
⑤由題意，f（m）的值是關(guān)于原點對稱的，
且m=

1

4

時，f（m）=-1，
∴m=

3

4

時，f（m）=1，
∴不等式|f（m）|≤1的解集為[

1

4

，

3

4

]；
∴命題⑤錯誤；
所以，以上命題正確的是②④；
故答案為：②④．

點評：本題考查了映射的概念，解題的關(guān)鍵是理解題設(shè)中所給的對應(yīng)關(guān)系，正確認(rèn)識三個圖象的意義，并對題中命題判斷正誤，是考查理解能力的問題；解題時應(yīng)對題設(shè)中所給的關(guān)系進行探究，從而得出正確答案．