Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}$+ax，a∈R．
（Ⅰ）若f（x）在區(qū)間$（-∞，-\frac{3}{2}）$上存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)-4＜a＜0時(shí)，f（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值為15，求f（x）在[0，3]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，利用f（x）在區(qū)間$（-∞，-\frac{3}{2}）$上存在單調(diào)遞減區(qū)間，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)f′（x）=x²+2x+a在$（-∞，-\frac{3}{2}）$上存在函數(shù)值小于零的區(qū)間，列出不等式求解a的范圍即可．
（Ⅱ）判斷導(dǎo)函數(shù)的開(kāi)口方向，對(duì)稱軸，利用函數(shù)f（x）的上單調(diào)性，求出a，然后求解最小值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}$+ax，a∈R．
可得f′（x）=x²+2x+a．
由條件f（x）在區(qū)間$（-∞，-\frac{3}{2}）$上存在單調(diào)遞減區(qū)間，知導(dǎo)函數(shù)f′（x）=x²+2x+a在$（-∞，-\frac{3}{2}）$上存在函數(shù)值小于零的區(qū)間，
只需${f^'}（{-\frac{3}{2}}）={（{-\frac{3}{2}}）^2}+2×（{-\frac{3}{2}}）+a＜0$，解得$a＜\frac{3}{4}$，
故a的取值范圍為$（-∞，\frac{3}{4}）$．…（5分）
（Ⅱ）f′（x）=x²+2x+a的圖象開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸x=-1，
f′（0）=a＜0，f′（3）=9+6+a=15+a＞0，
所以必存在一點(diǎn)x₀∈（0，3），使得f′（x₀）=0，
此時(shí)函數(shù)f（x）在[0，x₀]上單調(diào)遞減，
在[x₀，3]單調(diào)遞增，又由于f（0）=0，f（3）=9+9+a=18+3a＞0=f（0）
所以f（3）=18+3a=15，即a=-1，此時(shí)，
由${f}^{′}（{x}_{0}）={{x}_{0}}^{2}+2{x}_{0}-1=0⇒{x}_{0}=\sqrt{2}-1$，
所以函數(shù)$f{（x）}_{min}=f（\sqrt{2}-1）=\frac{5-4\sqrt{2}}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的最值的求法，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．