Question

1．已知函數(shù)f（x）=1+x-$\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+…-\frac{{{x^{2014}}}}{2014}+\frac{{{x^{2015}}}}{2015}$，若函數(shù)f（x）的零點(diǎn)都在[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內(nèi)，則b-a的最小值是1．

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)，確定f（x）是R上的增函數(shù)，函數(shù)f（x）在[-1，0]上有一個(gè)零點(diǎn)，即可得出結(jié)論．

解答 解：f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁴，
x＞-1時(shí)，f′（x）＞0，f′（-1）=1＞0，x＜-1時(shí)，f′（x）＞0，
因此f（x）是R上的增函數(shù)，
∵f（0）=1＞0，f（-1）=（1-1）+（-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（-$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$）＜0
∴函數(shù)f（x）在[-1，0]上有一個(gè)零點(diǎn)；
∵函數(shù)f（x）的零點(diǎn)都在[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內(nèi)，
∴b-a的最小值是1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 此題是中檔題，考查函數(shù)零點(diǎn)判定定理和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力．