Question

19．如圖已知拋物線 C：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為 l，焦點(diǎn)為F，圓M的圓心在x軸的正半軸上，且與y軸相切，過原點(diǎn)作傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線t，交 l于點(diǎn)A，交圓M于點(diǎn)B，且|AO|=|OB|=2．
（I）求圓M和拋物線C的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)N（4，0），設(shè)G，H是拋物線上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn)，且N，G，H三點(diǎn)共線，證明：$\overrightarrow{OG}⊥\overrightarrow{OH}$并求△GOH面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由|AO|=2，$\frac{p}{2}$=OAcos60°可求得p，從而可求得拋物線C的方程；繼而可求得圓M的半徑r，從而可求其方程；
（Ⅱ）設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），由N，G，H三點(diǎn)共線，設(shè)GH：x=ay+4，代入拋物線方程運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合拋物線方程可得x₁x₂+y₁y₂=0，可得$\overrightarrow{OG}⊥\overrightarrow{OH}$；利用三角形的面積公式，結(jié)合基本不等式即可求得△GOH面積的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵|AO|=2，$\frac{p}{2}$=|OA|cos60°，即p=2，
∴所求拋物線C的方程為y²=4x；
∴設(shè)圓的半徑為r，則r=$\frac{1}{2}$|OB|•$\frac{1}{cos60°}$=2，
∴圓的方程為（x-2）²+y²=4；
（Ⅱ）證明：設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
由N，G，H三點(diǎn)共線，設(shè)GH：x=ay+4，
代入拋物線方程可得y²-4ay-16=0，
可得y₁y₂=-16，
∵y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，∴x₁x₂=16，
得x₁x₂+y₁y₂=0，可得$\overrightarrow{OG}$•$\overrightarrow{OH}$=0；
∵S_△GOH=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OG}$|•|$\overrightarrow{OH}$|，
∴S²_△GOH=$\frac{1}{4}$|$\overrightarrow{OG}$|²•|$\overrightarrow{OH}$|²=$\frac{1}{4}$（x₁²+y₁²）（x₂²+y₂²）
=$\frac{1}{4}$（x₁²+4x₁）（x₂²+4x₂），
=$\frac{1}{4}$[（x₁x₂）2+4x₁x₂（x₁+x₂）+16x₁x₂]
≥$\frac{1}{4}$[（x₁x₂）2+4x₁x₂•2$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$+16x₁x₂]
=256，
∴S_△GOH≥16，當(dāng)且僅當(dāng)x₁=x₂=4時(shí)取等號(hào)，
∴△GOH面積最小值為16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查基本不等式，突出抽象思維能力與運(yùn)算能力的考查，屬于中檔題．