Question

已知點E是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左頂點，點F是該雙曲線的右焦點，過點F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABE是直角三角形，則該雙曲線的離心率是

 

，漸近線的方程為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用雙曲線的對稱性及直角三角形，可得∠AEF=45°，從而|AF|=|EF|，求出|AF|，|EF|，得到關(guān)于a，b，c的等式，即可求出離心率的值和漸近線方程．

解答： 解：∵△ABE是直角三角形，∴∠AEB為直角，
∵雙曲線關(guān)于x軸對稱，且直線AB垂直x軸，
∴∠AEF=∠BEF=45°，
∴|AF|=|EF|，
∵F為右焦點，設(shè)其坐標(biāo)為（c，0），
令x=c，則

c2

a2

-

y2

b2

=1，
則有y=±

b2

a

，
∴|AF|=

b2

a

，∴|EF|=a+c，
∴

b2

a

=a+c
∴c²-ac-2a²=0
∴e²-e-2=0，
∵e＞1，∴e=2，
由c=2a，則b=

c2-a2

=

3

a，
則雙曲線的漸近線方程為y=±

b

a

x，即有y=±

3

x．
故答案為：2，y=±

3

x．

點評：本題考查雙曲線的對稱性、考查雙曲線的三參數(shù)關(guān)系：c²=a²+b²、考查雙曲線的離心率和漸近線方程，屬于中檔題．