Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，M是SD的中點．
（1）求證：SB∥平面ACM；
（2）求二面角D-AC-M的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BD交AC于E，連接ME，由ABCD是正方形，知E是BD的中點，由M是SD的中點，知ME是△DSB的中位線，故ME∥SB，由此能夠證明SB∥平面ACM．
（2）取AD的中點F，則MF∥SA，作FQ⊥AC于Q，連接MQ，由SA⊥底面ABCD，知MF⊥底面ABCD，故FQ為MQ在平面ABCD內的射影，由FQ⊥AC，知∠FQM為二面角D-AC-M的平面角，由此能求出二面角D-AC-M的大�。�
解答：（1）證明：連接BD交AC于E，連接ME，
∵ABCD是正方形，∴E是BD的中點，
∵M是SD的中點，∴ME是△DSB的中位線，∴ME∥SB，
∵ME?平面ACM，SB?平面ACM，
∴SB∥平面ACM．
（2）解：取AD的中點F，則MF∥SA，作FQ⊥AC于Q，連接MQ，
∵SA⊥底面ABCD，∴MF⊥底面ABCD，
∴FQ為MQ在平面ABCD內的射影，
∵FQ⊥AC，∴MQ⊥AC，∴∠FQM為二面角D-AC-M的平面角，
設SA=AB=a，在Rt△MFQ中，MF=，FQ=，
∴tan∠FQM==，
∴二面角D-AC-M的大小為．
點評：本題考查直線與平面平等的證明，考查二面角大小的求法，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地化空間問題為平面問題．