Question

3．如圖，已知點E、F、G分別為正方形ABCD中邊AB、BC、CD的中點，H為CG中點，現(xiàn)沿AF、AG、GF折疊，使B、C、D三點重合，重合后的點記為B，在三棱錐B-AFG中．
（1）證明：EH∥平面AFG；
（2）證明：AB⊥平面BFG；
（3）若正方形的邊長為2，求四棱錐F-AGHE的體積．

Answer 1

分析 （1）EH是△AFG的中位線，得EH∥AG，故EH∥平面AFG；
（2）因為折疊后B，C，D三點重合為一點B，故折疊后AB⊥BF，AB⊥BG可推出AB⊥平面BFG；
（3）連接EF，HF，則V_棱錐F-AGHEV_棱錐F=V_棱錐F-AGB-V_{棱錐F-EHB．}

解答 證明：（1）由題意可知點E、H在折疊前后都分別是AB、CG的中點（折疊后B、C兩點重合），
∴EH∥AG，
∵EH?平面AFG，AG?平面AFG，
∴EH∥平面AFG．
（2）由題意可知AB⊥BF的關系在折疊前后都沒有改變．
∵在折疊前AD⊥DG，由于折疊后AD與AB重合，點D與B重合，
∴AB⊥BG，
∵AB⊥BF，AB⊥BG，BF?平面BFG，BG?平面BFG，BF∩BG=B，
∴AB⊥平面BFG．
解：（3）∵折疊前BF⊥AB，CF⊥CG，∴折疊后BF⊥AB，BF⊥BG，
又∵AB∩BG=B，AB?平面ABG，BG?平面ABG，
∴BF⊥平面ABG．
∴V_棱錐F-AGHE=V_棱錐F-AGB-V_棱錐F-EHB=$\frac{1}{3}$S_△ABG•BF-$\frac{1}{3}$S_△BEH•BF
=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1×2×1-$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了線面平行，線面垂直的判定和空間幾何體的體積計算，注意折疊前后的垂直關系不變是解決本題的關鍵．