Question

各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)的和為S_n，且S_n=（

Sn-1

+

a1

）²（n≥2），若b_n=

an+1

an

+

an

an+1

．求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得S_n-1=

(an-a1)2

4a1

，從而（a_n-a_n-1+2a₁）（a_n+a_n-1）=0，進(jìn)而a_n-a_n-1=2a₁，由此得到a_n=（2n-1）a₁，b_n=

an+1

an

+

an

an+1

=

2n+1

2n-1

+

2n-1

2n+1

=2+

2

2n-1

-

2

2n+1

，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：∵各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)的和為S_n，
且S_n=（

Sn-1

+

a1

）²（n≥2），
∴Sn=Sn-1+2

a1Sn-1

+a1，
∴an=Sn-Sn-1=2

a1Sn-1

+a1，
∴S_n-1=

(an-a1)2

4a1

，
n≥3時(shí)，a_n-1=S_n-1-S_n-2=

(an-a1)2-(an-1-a1)2

4a1

，
化簡，得(an-a1)2=(an-1-a1)2+4a1an-1=(an-1+a1)2，
∴（a_n-a_n-1+2a₁）（a_n+a_n-1）=0，
∵數(shù)列{a_n}各項(xiàng)為正，∴a_n-a_n-1=2a₁，
又S₂=a₁+a₂=（

a1

+

a1

）²=4a₁，∴a₂-a₁=2a₁，
∴{a_n}是等差數(shù)列，公差為2a₁，∴a_n=（2n-1）a₁，
b_n=

an+1

an

+

an

an+1

=

2n+1

2n-1

+

2n-1

2n+1

=2+

2

2n-1

-

2

2n+1

，
∴{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=(2+2-

2

3

)+(2+

2

3

-

2

5

)+…+（2+

2

2n-1

-

2

2n+1

）
=2n+2-

2

2n+1

=

4n2+6n

2n+1

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．