【題目】已知梯形ABCD中,,如圖(1)所示.現(xiàn)將△ABC沿邊BC翻折至A'BC,記二面角A'—BC—D的大小為θ.
(1)當(dāng)θ=90°時,如圖(2)所示,過點(diǎn)B作平面與A‘D垂直,分別交于點(diǎn)E,F,求點(diǎn)E到平面的距離;
(2)當(dāng)時,如圖(3)所示,求二面角的正切值
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)求得的長,利用等體積法計算出點(diǎn)E到平面的距離.
(2)作出二面角的平面角,由此求得其正切值.
(1)因?yàn)槠矫?/span>平面,平面平面,
,平面,
所以平面,又平面,所以,
因?yàn)?/span>平面,平面,所以
又,平面,
所以平面,又平面,所以,
在中,,
又平面平面,平面平面,
,平面,
所以平面,又平面,所以,
在中,,
所以,
在中,,
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,
因?yàn)?/span>,所以,
,所以;
(2)過點(diǎn)作直線//,過作交于點(diǎn).
因?yàn)?/span>,所以,又因?yàn)?/span>,
所以就是二面角的平面角,
所以,因?yàn)?/span>,所以,
過點(diǎn)作交于點(diǎn),連接,
因?yàn)?/span>,,,所以平面,
又平面,所以平面平面.
又因?yàn)槠矫?/span>平面,,平面
所以平面,
因?yàn)?/span>,,所以平面,
因?yàn)?/span>平面,所以,
所以是二面角的平面角,
在中,,
,
所以二面角的正切值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】疫情期間,有一批貨物需要用汽車從城市甲運(yùn)至城市乙,已知從城市甲到城市乙只有兩條公路,且通過這兩條公路所用的時間互不影響.據(jù)調(diào)查統(tǒng)計,通過這兩條公路從城市甲到城市乙的200輛汽車所用時間的頻數(shù)分布如下表:
所用時間 | 10 | 11 | 12 | 13 |
通過公路1的頻數(shù) | 20 | 40 | 20 | 20 |
通過公路2的頻數(shù) | 10 | 40 | 40 | 10 |
(1)為進(jìn)行某項(xiàng)研究,從所用時間為12的60輛汽車中隨機(jī)抽取6輛,若用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取,求從通過公路1和公路2的汽車中各抽取幾輛:
(2)若從(1)的條件下抽取的6輛汽車中,再任意抽取2輛汽車,求這2輛汽車至少有1輛通過公路1的概率;
(3)假設(shè)汽車A只能在約定時間的前11h出發(fā),汽車B只能在約定時間的前12h出發(fā).為了盡最大可能在各自允許的時間內(nèi)將貨物從城市甲運(yùn)到城市乙,汽車A和汽車B應(yīng)如何選擇各自的道路?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)ae2x+(a﹣2) ex﹣x.
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若有兩個零點(diǎn),求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若在處有極值,問是否存在實(shí)數(shù)m,使得不等式對任意及恒成立?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由.;
(2)若,設(shè).
①求證:當(dāng)時,;
②設(shè),求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰中,斜邊,為直角邊上的一點(diǎn),將沿直線折疊至的位置,使得點(diǎn)在平面外,且點(diǎn)在平面上的射影在線段上設(shè),則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓和點(diǎn).
(1)過點(diǎn)向圓引切線,求切線的方程;
(2)求以點(diǎn)為圓心,且被直線截得的弦長為8的圓的方程;
(3)設(shè)為(2)中圓上任意一點(diǎn),過點(diǎn)向圓引切線,切點(diǎn)為,試探究:平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn),使得為定值?若存在,請求出定點(diǎn)的坐標(biāo),并指出相應(yīng)的定值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是直角三角形,AC=BC=AA1=2,D為側(cè)棱AA1的中點(diǎn).
(1)求異面直線DC1,B1C所成角的余弦值;
(2)求二面角B1-DC-C1的平面角的余弦值.
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