Question

已知關(guān)于x的方程9^x+m•3^x+6=0（其中m∈R）．
（1）若m=-5，求方程的解；
（2）若方程沒有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)m=-5時(shí)，方程即為9^x-5•3^x+6=0，
令3^x=t（t＞0），方程可轉(zhuǎn)化為t²-5t+6=0，
解得t=2或t=3，
由3^x=2得x=log₃2，由3^x=3得x=1，
故原方程的解為1，log₃2．
（2）令3^x=t（t＞0）．
方程可轉(zhuǎn)化為t²+mt+6=0①
要使原方程沒有實(shí)數(shù)根，應(yīng)使方程①沒有實(shí)數(shù)根，或者沒有正實(shí)數(shù)根．
當(dāng)方程①沒有實(shí)數(shù)根時(shí)，需△=m²-24＜0，
解得-2＜m＜2；
當(dāng)方程①沒有正實(shí)數(shù)根時(shí)，方程有兩個(gè)相等或不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根，
這時(shí)應(yīng)有，解得m≥2．
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為m＞-2．
分析：（1）當(dāng)m=-5時(shí)，方程即為9^x-5•3^x+6=0，利用換元法，令3^x=t（t＞0），方程可轉(zhuǎn)化為t²-5t+6=0，可求t進(jìn)而可求x
（2）令3^x=t（t＞0），方程可轉(zhuǎn)化為t²+mt+6=0①，要使原方程沒有實(shí)數(shù)根，應(yīng)使方程①沒有實(shí)數(shù)根，或者沒有正實(shí)數(shù)根，結(jié)合二次方程可求
點(diǎn)評：本題主要考查了利用換元法求解二次方程的根，解題的難點(diǎn)在于（2）中二次方程的根有限制條件時(shí)，要注意結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)．