Question

設(shè)

a

，

b

，

c

是任意的三個(gè)非零平面向量，且他們相互不共線，給出下列命題
①（

a

•

b

）

c

=（

c

•

a

）

b

；
②|

a

|-|

b

|＜|

a

-

b

|；
③（3

a

+2

b

）•（3

a

-2

b

）=9|

a

|2-4|

b

|2；
④（

c

•

b

）

a

-（

c

•

a

）

b

不與

c

垂直．
其中正確的有（　�。�

A．①②

B．②③

C．③④

D．②④

Answer 1

分析：①因?yàn)椋?span id="a2bypbz" class="MathJye">

a

•

b

）

c

是表示與向量

c

共線的向量，而（

c

•

a

）

b

是表示與向量

b

共線的向量．
②根據(jù)三角形的性質(zhì)：任意兩邊之差小于第三邊可得|

a

|-|

b

|＜|

a

-

b

|．
③向量的運(yùn)算滿足平方差公式．
④因?yàn)閇（

c

•

b

）

a

-（

c

•

a

）

b

]•

c

=（

c

•

b

）

a

•

c

-（

c

•

a

）

b

•

c

=0，所以（

c

•

b

）

a

-（

c

•

a

）

b

與

c

垂直．

解答：解：①因?yàn)椋?span id="6n90oe2" class="MathJye">

a

•

b

）

c

是表示與向量

c

共線的向量，而（

c

•

a

）

b

是表示與向量

b

共線的向量，所以①錯(cuò)誤．
②因?yàn)?span id="85iep2l" class="MathJye">

a

，

b

，

c

是任意兩個(gè)都不共線的向量，所以根據(jù)三角形的性質(zhì)：任意兩邊之差小于第三邊可得|

a

|-|

b

|＜|

a

-

b

|正確，所以②正確．
③根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)可得：向量的運(yùn)算滿足平方差公式，即（3

a

+2

b

）•（3

a

-2

b

）=9|

a

|2-4|

b

|2正確，所以③正確．
④因?yàn)閇（

c

•

b

）

a

-（

c

•

a

）

b

]•

c

=（

c

•

b

）

a

•

c

-（

c

•

a

）

b

•

c

=0，所以（

c

•

b

）

a

-（

c

•

a

）

b

與

c

垂直，所以④錯(cuò)誤．
故選②③．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握平面向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算滿足的運(yùn)算律，以及熟練掌握利用向量的數(shù)量積判斷平面向量的垂直共線，此題屬于基礎(chǔ)題．