Question

已知定義在R上的函數(shù)和數(shù)列滿足下列條件：，
，其中a為常數(shù)，k為非零常數(shù).
（Ⅰ）令，證明數(shù)列是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，求.

Answer 1

（Ⅰ）證明：見解析；
（Ⅱ）數(shù)列的通項(xiàng)公式為   ，
（Ⅲ）當(dāng)時(shí), 

本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．
（1）由題意知a_n=f（a_n-1），f（a_n）-f（an_-1）=k（a_n-a_n-1）（n=2，3，4，），得an+1-an=f（an）-f（an-1）=k（a_n-an_-1）（n=2，3，4，），由此可知an-an-1=k（a_n-a_n-1），（n=2，3，4，），得k=1．
（2）由b₁=a₂-a₁≠0，知b₂=a₃-a₂=f（a₂）-f（a₁）=k（a₂-a₁）≠0．因此b_n=a_n+1-a_n=f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1）═kn-1_（a₂-a₁）≠0，由此可知數(shù)列{bn}是一個公比為k的等比數(shù)列．
（3）{an}是等比數(shù)列的充要條件是f（x）=kx（k≠1）；先進(jìn)行充分性證明：若f（x）=kx（k≠1），則{an}是等比數(shù)列．再進(jìn)行必要性證明：若{an}是等比數(shù)列，f（x）=kx（k≠1）．
（Ⅰ）證明：由，可得
.由數(shù)學(xué)歸納法可證
.
由題設(shè)條件，當(dāng)時(shí)
因此，數(shù)列是一個公比為k的等比數(shù)列.
（Ⅱ）解：由（1）知，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，   .
而  
所以，當(dāng)時(shí),      .上式對也成立. 所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為. 當(dāng)時(shí)
   。上式對也成立，所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為   ，
（Ⅲ）解：當(dāng)時(shí),