Question

已知雙曲線C：

x2

m

-y2=1(m＞0)，A．B兩點分別在雙曲線C的兩條漸近線上，且|AB|=2

m

，又點P為AB的中點．
（1）求點P的軌跡方程并判斷其形狀；
（2）若不同三點D（-2，0）、S、T 均在點P的軌跡上，且

DS

•

ST

=0； 求T點橫坐標x_T的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設出A，B的坐標，利用點P為AB的中點，確定坐標之間的關(guān)系，根據(jù)|AB|=2

m

，建立方程，化簡，即可求點P的軌跡方程．
（2）直線DS、ST分別代入橢圓方程，求出T點橫坐標，利用基本不等式，即可求T點橫坐標x_T的取值范圍．

解答： 解：（1）雙曲線漸近線為y=

x

m

與y=-

x

m

．
所以設A(xA，

xA

m

)，B(xB，-

xB

m

)，
所以xP=

xA+xB

2

，yP=

xA-xB

2 m

，
又|AB|=2

m

，
所以點P的軌跡方程為

x2

m2

+y2=1，
所以m=1時P的軌跡為圓；m＞1時P的軌跡為焦點在x軸上的橢圓；0＜m＜1時P的軌跡為焦點在y軸上的橢圓；（6分）
（2）把D（-2，0）代入

x2

m2

+y2=1，得P的軌跡的

x2

4

+y2=1…①
設直線DS為y=k（x+2）…②
聯(lián)立①②得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0
設點S（x₁，y₁），有xD+x1=

-16k2

1+4k2

，
所以x1=

2-8k2

1+4k2

，y1=

4k

1+4k2

則直線ST為y=-

1

k

(x-x1)+y1
化簡為：y=-

x

k

+

2-4k2

k(1+4k2)

③
聯(lián)立①，③得(1+

4

k2

)x2+

32k2-16

k2(1+4k2)

x+

4(2-4k2)2

k2(1+4k2)2

-4=0，
所以x1+xT=

16-32k2

(4+k2)(1+4k2)

，
所以xT=

16-32k2

(4+k2)(1+4k2)

-

2-8k2

1+4k2

=

8k4-2k2+8

4k4+17k2+4

=2-

36k2

4k4+17k2+4

（ 因為三點不同，易知k≠0）
=2-

36k2

4k4+17k2+4

=

36

4(k2+ 1 k2 )+17

≥2-

36

25

=

14

25

所以x_T的取值范圍為[

14

25

，2)…（14分）

點評：本題考查軌跡方程，考查代入法的運用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．