Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB1=1，AC=

2

，直線B₁C與平面ABC成45°角．
（1）求證：平面A₁B₁C⊥平面B₁BCC₁；
（2）求二面角A-B₁C-B的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件導(dǎo)出B₁C與面ABC所成的角∠B₁CB=45°，AB⊥面B₁BCC₁，由此能證明面A₁B₁C⊥面B₁BCC₁．
（2）由已知條件推導(dǎo)出△AB₁C為等邊三角形，取B₁C中點(diǎn)O，連結(jié)AO，BO，推導(dǎo)出∠AOB為二面角A-B₁C-B的平面角，由此能求出二面角A-B₁C-B的余弦值．

解答： （1）證明：∵BB₁⊥面ABC
∴B₁C與面ABC所成的角為∠B₁CB
∴∠B₁CB=45°，∵BB₁=1，∴BC=1，
又∵BA=1，AC=

2

∴AB²+BC²=AC²，∴AB⊥BC
∵BB₁⊥AB，BB₁∩BC=B，∴AB⊥面B₁BCC₁，
∵A₁B₁∥AB，∴A₁B₁⊥面B₁BCC₁，
∵A₁B₁?面A₁B₁C，∴面A₁B₁C⊥面B₁BCC₁．
（2）解：∵Rt△ABB₁中，BB₁=AB=1，∴AB₁=

2

，
∴△AB₁C為等邊三角形，
又∵△BB₁C為等腰三角形，
∴取B₁C中點(diǎn)O，連結(jié)AO，BO，則AO⊥B₁C，BO⊥B₁C，
∴∠AOB為二面角A-B₁C-B的平面角，
∵在Rt△BB₁C中，BO=

1

2

，B₁C=

2

2

，
在等邊△AB₁C中，AO=

3

2

，AC=

6

2

，
∴在△AOB中cos∠AOB=

AO2+BO2-AB2

2AO•BO

=

( 2 2 )2+( 6 2 )2-12

2• 2 2 • 6 2

=

3

3

．
∴二面角A-B₁C-B的余弦值為

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．