Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$=（m，-1），$\overrightarrow$=（sinx，cosx），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$且滿足f（$\frac{π}{2}$）=1．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最大值及其對應(yīng)的x值；
（2）若f（α）=$\frac{1}{5}$，求$\frac{sin2α-2si{n}^{2}α}{1-tanα}$的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩個向量的數(shù)量積公式，求得m=1，再根據(jù)正弦函數(shù)的值域求得函數(shù)的最大值以及其對應(yīng)的x值．
（2）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sin2α=$\frac{24}{25}$．再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡要求的式子為sin2α，可得結(jié)果．

解答 解：（1）∵f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=msinx-cosx，且滿足f（$\frac{π}{2}$）=1，∴$msin\frac{π}{2}-cos\frac{π}{2}=1$，即m=1，
則f（x）=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
當(dāng)x-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即x=2kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z時，f（x）_max=$\sqrt{2}$．
（2）f（α）=$\frac{1}{5}$，即sinα-cosα=$\frac{1}{5}$，兩邊平方得：1-sin2α=$\frac{1}{25}$，所以sin2α=$\frac{24}{25}$．
故 $\frac{sin2α-2si{n}^{2}α}{1-tanα}$=$\frac{2sinαcosα-{2sin}^{2}α}{\frac{cosα-sinα}{cosα}}$=2sinαcosα=sin2α=$\frac{24}{25}$．

點(diǎn)評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，正弦函數(shù)的值域，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．