Question

已知函數f（x）=2sinxcosx+sin²x-cos²x．（1）求f（x）遞增區(qū)間．（2）求f（x）當x∈[0，

π

2

]時的值域．

Answer 1

分析：（1）利用倍角公式對函數解析式進行化簡，再由正弦函數的單調性求出，函數的遞增區(qū)間；
（2）由x∈[0，

π

2

]求出2x-

π

4

的范圍，進而求出正弦函數值的范圍，再由解析式求出函數值域．

解答：解：（1）由題意知，f（x）=2sinxcosx+sin²x-cos²x，
∴f（x）=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

得，kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

∴函數的遞增區(qū)間為[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]（k∈Z）

（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴

2

sin(-

π

4

)≤y≤

2

sin

π

2

即-1≤y≤

2

∴函數的值域為[-1，

2

]．

點評：本題的考點是正弦函數的單調性和求定區(qū)間上的值域，需要對解析式進行適當的化簡成正弦型的函數，再利用整體思想求解．