Question

把半徑為2的四個小球壘成兩層放在桌子上，下層放3個，上層放1個，兩兩相切．求上層的最高點離桌面的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)四個球的球心分別為O₁、O₂、O₃、O₄，將它們兩兩連結(jié)恰好組成一個正三棱錐，且各棱長均為2R，作O₁H⊥面O₂O₃O₄，垂足為H，則O₁H為棱錐的高，由此可求上面一個球的球心到桌面的距離．

解答： 解：設(shè)四個球的球心分別為O₁、O₂、O₃、O₄，將它們兩兩連結(jié)恰好組成一個正三棱錐，且各棱長均為4，作O₁H⊥面O₂O₃O₄，垂足為H，則O₁H為棱錐的高．
連接O₄H，則O₄H=

4 3

3

，
∵O₁H⊥面O₂O₃O₄，
∴O₁H⊥HO₄，即∠O₁HO₄=90°，∴O₁H=

O1O42-O4H2

=

42-( 2 3 × 3 2 ×4)2

=

4 6

3

，
則從上面一個球的球心到桌面的距離為

4 6

3

+2．
上層的最高點離桌面的距離：

4 6

3

+4．

點評：本題考查點到面的距離的計算，考查學生分析解決問題的能力，考查學生轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．