Question

一項試驗有兩套方案，每套方案試驗成功的概率都是，試驗不成功的概率都是甲隨機(jī)地從兩套方案中選取一套進(jìn)行這項試驗，共試驗了 3次，每次實驗相互獨立，且要從兩套方案中等可能地選擇一套．
（I）求3次試驗都選擇了同一套方案且都試驗成功的概率：
（II）記3次試驗中，都選擇了第一套方案并試難成功的次數(shù)為X，求X的分布列和期望EX．

Answer 1

解：記事件“一次試驗中，選擇第i套方案并試驗成功”為A_i，i=1，2，則P（A_i）=×=．
（Ⅰ）3次試驗選擇了同一套方案且都試驗成功的概率
P=P（A₁•A₁•A₁+A₂•A₂•A₂）=（）³+（）³=．（4分）
（Ⅱ）X的可能值為0，1，2，3，則X～B（3，），
P（X=k）=C₃^k（）^k（）^3-k，k=0，1，2，3．（8分）
X的分布列為

X	0	1	2	3
P

EX=3×=1．（12分）
分析：記事件“一次試驗中，選擇第i套方案并試驗成功”為A_i，i=1，2，則P（A_i）=×=．
（Ⅰ）記事件“一次試驗中，選擇第i套方案并試驗成功”為A_i，i=1，2，則P（A_i）=×=．由此能求出3次試驗選擇了同一套方案且都試驗成功的概率．
（Ⅱ）X的可能值為0，1，2，3，則X～B（3，），P（X=k）=C₃^k（）^k（）^3-k，k=0，1，2，3．由此能求出X的分布列和期望．
點評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，要合理運用二項分布的性質(zhì)進(jìn)行解題．