【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PD⊥底面ABCD,AB∥CD,∠BAD= , AB=2,CD=3,M為PC上一點,PM=2MC.
(Ⅰ)證明:BM∥平面PAD;
(Ⅱ)若AD=2,PD=3,求二面角D﹣MB﹣C的正弦值.

【答案】證明:(1)在DC上取點E,使DE=2,
則DE∥AB,DE=AB,
則四邊形ABED是平行四邊形,
則EB∥AD,
,∴PD∥ME,
則平面PAD∥平面MBE,
∵BM平面MBE,BM平面PAD,
∴BM∥平面PAD
(2)△ABD是正三角形,建立以D為坐標原點的空間直角坐標系如圖:

則B(,1,0),P(0,0,3),C(0,3,0),M(0,2,1),
=(,1,0),=(0,2,1),
設(shè)平面DBM的法向量為=(x,y,z),
則由=x+y=0,=2y+z=0,得,
令x=1,則y=﹣,z=2=(1,﹣,2),
設(shè)平面MBC的法向量為=(x,y,z),=(﹣,2,0),=(0,1,﹣1),
=﹣x+2y=0,=y﹣z=0,
令x=2,則y=,z=,
=(2,,),
則cos<,>====,
則二面角D﹣MB﹣C的正弦值sinα==
即平面ACD與平面BCD所成的銳二面角的余弦值是

【解析】(Ⅰ)根據(jù)線面平行的判定定理即可證明BM∥平面PAD;
(Ⅱ)若AD=2,PD=3,建立空間直角坐標系求出平面的法向量,利用向量法即可求二面角D﹣MB﹣C的正弦值。

練習冊系列答案
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【題目】閱讀如圖所示的程序框圖,則該算法的功能是(

A.計算數(shù)列{2n1}前5項的和
B.計算數(shù)列{2n﹣1}前5項的和
C.計算數(shù)列{2n1}前6項的和
D.計算數(shù)列{2n﹣1}前6項的和

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【題目】已知f(x)=ax3﹣3x2+1(a>0),定義h(x)=max{f(x),g(x)}=
(1)求函數(shù)f(x)的極值;
(2)若g(x)=xf'(x),且存在x∈[1,2]使h(x)=f(x),求實數(shù)a的取值范圍;
(3)若g(x)=lnx,試討論函數(shù)h(x)(x>0)的零點個數(shù).

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【題目】數(shù)列{xn}滿足x1=0,xn+1=﹣x2n+xn+c(n∈N*).
(Ⅰ)證明:{xn}是遞減數(shù)列的充分必要條件是c<0;
(Ⅱ)求c的取值范圍,使{xn}是遞增數(shù)列.

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【題目】已知兩點M(﹣3,0),N(3,0),點P為坐標平面內(nèi)一動點,且,則動點P(x,y)到兩點A(﹣3,0)、B(﹣2,3)的距離之和的最小值為( 。

A. 4 B. 5 C. 6 D.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,直線l的極坐標方程為ρsin()=2
(Ⅰ)求曲線C和直線l在該直角坐標系下的普通方程;
(Ⅱ)動點A在曲線C上,動點B在直線l上,定點P的坐標為(﹣2,2),求|PB|+|AB|的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,前n項的積為Tn,若T13=4T9,則a8a15=(  )

A. 2 B. ±2 C. 4 D. ±4

【答案】A

【解析】

由題意可得 q1,且 an 0,由條件可得 a1a2…a13=4a1a2…a9,化簡得a10a11a12a13=4,再由 a8a15=a10a13=a11a12,求得a8a15的值.

等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,其前n項的積為Tn(n∈N*),若T13=4T9 ,設(shè)公比為q,

則由題意可得 q1,且 an >0.

∴a1a2…a13=4a1a2…a9,∴a10a11a12a13=4.

又由等比數(shù)列的性質(zhì)可得 a8a15=a10a13=a11a12,∴a8a15=2.

故選:A.

【點睛】

本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì),求得 a10a11a12a13=4是解題的關(guān)鍵.

型】單選題
結(jié)束】
10

【題目】若直線y=2x上存在點(x,y)滿足約束條件,則實數(shù)m的最大值為

A. -1 B. 1 C. D. 2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】菜農(nóng)定期使用低害殺蟲農(nóng)藥對蔬菜進行噴灑,以防止害蟲的危害,但采集上市時蔬菜仍存有少量的殘留農(nóng)藥,食用時需要用清水清洗干凈,下表是用清水x(單位:千克)清洗該蔬菜1千克后,蔬菜上殘留的農(nóng)藥y(單位:微克)的數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.

y(微克)

x(千克)

3

38

11

10

374

-121

-751

其中

(I)根據(jù)散點圖判斷,,哪一個適宜作為蔬菜農(nóng)藥殘量與用水量的回歸方程類型(給出判斷即可,不必說明理由);

(Ⅱ)若用解析式作為蔬菜農(nóng)藥殘量與用水量的回歸方程,求出的回歸方程.(c,d精確到0.1)

(Ⅲ)對于某種殘留在蔬菜上的農(nóng)藥,當它的殘留量低于20微克時對人體無害,為了放心食用該蔬菜,請估計需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜?(精確到0.1,參考數(shù)據(jù))

附:參考公式:回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:

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【題目】已知函數(shù)f(x),若在定義域內(nèi)存在x0 , 使得f(﹣x0)=﹣f(x0)成立,則稱x0為函數(shù)f(x)的局部對稱點.
(1)若a,b,c∈R,證明函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx﹣b必有局部對稱點;
(2)是否存在常數(shù)m,使得函數(shù)f(x)=4x﹣m2x+1+m2﹣3有局部對稱點?若存在,求出m的范圍,否則說明理由.

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