Question

已知函數(shù)f（x）=alog₂|x|+1（a≠0），定義函數(shù)F（x）=

f(x)，x＞0 -f(x)，x＜0

，給出下列命題：
①F（x）=|f（x）|；
②函數(shù)F（x）是奇函數(shù)；
③當(dāng)a＞0時，若x₁x₂＜0，x₁+x₂＞0，則F（x₁）+F（x₂）＞0成立；
④當(dāng)a＜0時，函數(shù)y=F（x²-2x-3）存在最大值，不存在最小值，
其中所有正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用,對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對于①運(yùn)用定義域判斷為假命題，
對于②根據(jù)奇函數(shù)定義判斷，即可得出答案，
對于③根據(jù)單調(diào)性奇偶性判斷出F（x₁）＞-F（x₂），即可得出F（x₁）+F（x₂）＞0，
對于④F（x）=

alog2(x2-2x-3)+1，x＞3或x＜-1 -alog2(-x2+2x+3)-1，-1＜x＜3

利用單調(diào)性判斷
即沒有最大值，也沒有最小值，
即函數(shù)y=F（x²-2x-3）的值域為（-∞，+∞），
判斷④錯誤

解答： 解：①因為|f（x）|=

f(x)，x＞0 -f(x)，x＜0

，
∴F（x）=

f(x)，x＞0 -f(x)，x＜0

，
這兩個函數(shù)的定義不相同，所以不是同一個函數(shù)，F(xiàn)（x）=|f（x）|；
故①不正確，
②x＞0時，F(xiàn)（x）=f（x）=alog₂|x|+1，
-x＜0，F(xiàn)（x）=-f（x）=-（alog₂|x|+1），
當(dāng)x＜0時，F(xiàn)（x）=f（x）=alog₂|x|+1，
-x＞0，F(xiàn)（-x）=f（-x）=（alog₂|-x|+1）=alog₂|x|+1=-F（x），
所以函數(shù)F（x）是奇函數(shù)，故②正確
③當(dāng)a＞0時，函數(shù)F（x）=f（x）=alog₂x+1，在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
若x₁x₂＜0，x₁+x₂＞0，
不妨設(shè)x₁＞0，則x₂＜0，x₁＞-x₂＞0，
所以F（x₁）＞F（x₂），
由因為函數(shù)F（x）是奇函數(shù)，
所以F（x₁）＞-F（x₂），F(xiàn)（x₁）+F（x₂）＞0，故③正確．
④y=F（x²-2x-3）=

alog2(x2-2x-3)+1，x＞3或x＜-1 -alog2(-x2+2x+3)-1，-1＜x＜3

當(dāng)x＞3或x＜-1，因為a＜0，所以y=alog₂（x²-2x-3）+1，
即沒有最大值，也沒有最小值，即函數(shù)y=F（x²-2x-3）的值域為（-∞，+∞），
故④錯誤
故答案為：②③

點評：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，定義，運(yùn)用判斷問題，屬于中檔題，但是難度較大．