Question

定義在R上的奇函數y=f（x），對任意不等的實數x₁，x₂都有[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＜0成立，若不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0成立，則當1≤x≤4時，的取值范圍為________．

Answer 1

分析：先利用不等式（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0恒成立得到函數f（x）是定義在R上的減函數；再利用函數f（x）是定義在R上的奇函數得f（-x）=-f（x），二者相結合及不等式得（x-y）（x+y-2）≥0，結合的幾何意義可求范圍
解答：解：由不等式（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0恒成立得，函數f（x）是定義在R上的減函數
又因為函數f（x）是定義在R上的奇函數，所以有函數f（-x）=-f（x）
∵f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0
∴f（x²-2x）≤-f（2y-y²）=f（y²-2y）
∴x²-2x≥y²-2y即（x-y）（x+y-2）≥0，又1≤x≤4
∴或
作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所求的陰影部分，
令k=，則k的幾何意義是在可行域內任取一點，與原點（0，0）連線的斜率
由可得C（4，4），由可得B（4，-2）
∵K_OC=K_OA=1，
結合圖形可知，
故答案為[-，1]
點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的綜合應用問題．關鍵點有兩處：①判斷出函數f（x）的單調性；②利用奇函數的性質得到函數f（-x）=-f（x）③明確目標函數的幾何意義