Question

9．已知三棱錐S-ABC，SA⊥底面ABC，∠ABC=90°，AB=SA=4，BC=3，則直線SB與AC所成角的余弦值為$\frac{2\sqrt{2}}{5}$．

Answer 1

分析 以A為原點，在平南ABC內(nèi)過A作CB的平行線為x軸，AB為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此利用向量法能求出直線SB與AC所成角的余弦值．

解答 解：如圖，以A為原點，在平南ABC內(nèi)過A作CB的平行線為x軸，AB為y軸，AS為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知得A（0，0，0），B（0，4，0），C（-3，4，0），S（0，0，4），
$\overrightarrow{SB}$=（0，4，-4），$\overrightarrow{AC}$=（-3，4，0），
設(shè)直線SB與AC所成角為θ，
cosθ=|cos＜$\overrightarrow{SB}$，$\overrightarrow{AC}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{SB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{SB}|•|\overrightarrow{AC}|}$|=|$\frac{16}{4\sqrt{2}•5}$|=$\frac{2\sqrt{2}}{5}$．
∴直線SB與AC所成角的余弦值為$\frac{2\sqrt{2}}{5}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{2}}{5}$．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．