Question

5．某工廠有25周歲以上（含25周歲）工人300名，25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計(jì)了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上（含25周歲）”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的頻率．
（2）規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請你根據(jù)已知條件完成2×2的列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”？

	生產(chǎn)能手	非生產(chǎn)能手	合計(jì)
25周歲以上組
25周歲以下組
合計(jì)

附表：

P（K2≥k）	0.100	0.010	0.001
k	2.706	6.635	10.828

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，（其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）由分層抽樣的特點(diǎn)可得樣本中有25周歲以上、下組工人人數(shù)，再由所對應(yīng)的頻率可得樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中，25周歲以上、下組工人的人數(shù)分別為3，2，由古典概型的概率公式可得答案；
（2）由頻率分布直方圖可得“25周歲以上組”中的生產(chǎn)能手的人數(shù)，以及“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手的人數(shù)，據(jù)此可得2×2列聯(lián)表，可得k²≈1.79，由1.79＜2.706，可得結(jié)論．

解答 解：（1）由已知可得，樣本中有25周歲以上組工人100×$\frac{300}{300+200}$=60名，
25周歲以下組工人100×$\frac{200}{300+200}$=40名，
所以樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中，25周歲以上組工人有60×0.05=3（人），
25周歲以下組工人有40×0.05=2（人），
故從中隨機(jī)抽取2名工人所有可能的結(jié)果共${C}_{5}^{2}$=10種，
其中至少1名“25周歲以下組”工人的結(jié)果共${C}_{3}^{1}$•${C}_{2}^{1}$+${C}_{2}^{2}$=7種，
故所求的概率為：$\frac{7}{10}$；
（2）由頻率分布直方圖可知：在抽取的100名工人中，“25周歲以上組”中的生產(chǎn)能手有60×0.25=15（人），
“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手有40×0.375=15（人），據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下：

	生產(chǎn)能手	非生產(chǎn)能手	合計(jì)
25周歲以上組	15	45	60
25周歲以下組	15	25	40
合計(jì)	30	70	100

所以可得k²=$\frac{100×（15×25-15×45）^{2}}{60×40×30×70}$≈1.79，
因?yàn)?.79＜2.706，所以沒有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”．

點(diǎn)評 本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，涉及頻率分布直方圖，以及古典概型的概率公式，屬中檔題．