Question

如圖，直線l：y=x+b（b＞0），拋物線C：y²=2px（p＞0），已知點(diǎn)P（2，2）在拋物線C上，且拋物線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值為

3 2

4

．
（1）求直線l及拋物線C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)Q（2，1）的任一直線（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P）與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，直線AB與直線l相交于點(diǎn)M，記直線PA，PB，PM的斜率分別為k₁，k₂，k₃．問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)λ，使得k₁+k₂=λk₃？若存在，試求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,直線的一般式方程,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用點(diǎn)P（2，2）在拋物線C上，可求拋物線方程，求出與直線l平行且與拋物線C相切的直線l′方程，利用兩直線l、l′間的距離即為拋物線C上的點(diǎn)到直線l的最短距離，可得直線l的方程；
（2）直線AB的方程為y-1=k（x-2），與拋物線聯(lián)立，消去x，利用韋達(dá)定理、斜率公式，求出k₁+k₂，再由

y-1=k(x-2) y=x+2

得xM=

2k+1

k-1

，y_M=

4k-1

k-1

，求出k₃，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)P（2，2）在拋物線C上，∴p=1，
∴y²=2x．    …（2分）
設(shè)與直線l平行且與拋物線C相切的直線l′方程為y=x+m，
代入拋物線方程可得x²+（2m-2）x+m²=0，
∴△=（2m-2）²-4m²=4-8m=0，得m=

1

2

，則直線l′方程為y=x+

1

2

．
∵兩直線l、l′間的距離即為拋物線C上的點(diǎn)到直線l的最短距離，
∴有

|b- 1 2 |

2

=

3 2

4

，解得b=2或b=-1（舍去）．
∴直線l的方程為y=x+2，拋物線C的方程為y²=2x． …（6分）
（2）由題意可設(shè)AB的斜率為k，則直線AB的方程為y-1=k（x-2），
與拋物線聯(lián)立，消去x得ky²-2y-4k+2=0，
設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=

2

k

，y₁y₂=

2-4k

k

，
∵k₁=

2

y1+2

，k₂=

2

y2+2

，…（9分）
∴k1+k2=

2

y1+2

+

2

y2+2

=

2(y1+y2)+8

y1y2+2(y1+y2)+4

=

2• 2 k +8

2-4k k +2• 2 k +4

=

4k+2

3

．…（10分）
由

y-1=k(x-2) y=x+2

得xM=

2k+1

k-1

，y_M=

4k-1

k-1

，
∴k₃=

4k-1 k-1 -2

2k+1 k-1 -2

=

2k+1

3

，…（13分）
∴k₁+k₂=2k₃．
因此，存在實(shí)數(shù)λ，使得k₁+k₂=λk₃成立，且λ=2．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的方程與性質(zhì)、直線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系，切線方程，點(diǎn)到直線距離，最值問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生運(yùn)算能力、推理論證以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想．