Question

已知函數f（x）是定義在[-4，+∞）上的單調增函數，且對于一切實數x，不等式f（cosx-b²）≥f（sin²x-b-3）恒成立，則實數b的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數單調性的性質

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：根據函數f（x）是定義在[-4，+∞）上的單調增函數，且對于一切實數x，不等式f（cosx-b²）≥f（sin²x-b-3）恒成立，可得cosx-b²≥sin²x-b-3≥-4，即cosx-sin²x≥b²-b-3且sin²x≥b-1，從而可求實數b的取值范圍．

解答： 解：∵函數f（x）是定義在[-4，+∞）上的單調增函數，且對于一切實數x，不等式f（cosx-b²）≥f（sin²x-b-3）恒成立，
∴cosx-b²≥sin²x-b-3≥-4，
∴cosx-sin²x≥b²-b-3且sin²x≥b-1，
∵cosx-sin²x=（cosx+

1

2

）²-

5

4

∈[-

5

4

，1]，sin²x∈[0，1]，
∴b²-b-3≤-

5

4

且b-1≤0，
∴實數b的取值范圍是[

1

2

-

2

，1]．
故答案為：[

1

2

-

2

，1]．

點評：本題考查函數單調性的性質，考查解不等式，轉化為cosx-b²≥sin²x-b-3≥-4是關鍵．