Question

設(shè)a（0＜a＜1）是給定的常數(shù)，f（x）是R上的奇函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)，若f(

1

2

)=0，f（log_at）＞0，則t的取值范圍是（　�。�

• A、(0，

  a

  )
• B、(1，

  1

  a

  )
• C、(0，

  1

  a

  )
• D、(1，

  1

  a

  )∪(0，

  a

  )

Answer 1

分析：由f（x）是R上的奇函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)，可知函數(shù)在（-∞，0）上單調(diào)遞增，且有f（-

1

2

）=f(

1

2

)=0，則f（log_a^t）＞0轉(zhuǎn)化為log_at＞

1

2

或-

1

2

＜log_at＜0，再利用底數(shù)小于1的對數(shù)函數(shù)是減函數(shù)即可求t的取值范

解答：解：∵f（x）是R上的奇函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴在（-∞，0）上是減函數(shù)，又f（

1

2

）=0，
可得f（-

1

2

）=-f（

1

2

）=0，
∴f（x）在（-

1

2

，0）和（

1

2

，+∞）上函數(shù)值為正
∴f（log_a^t）＞0轉(zhuǎn)化為log_at＞

1

2

或-

1

2

＜log_at＜0，
又∵0＜a＜1
∴l(xiāng)og_at＞

1

2

=log_aa 

1

2

，可得0＜a＜

a

，
-

1

2

＜log_at＜0，1＜a＜

1

a

，
故選D

點(diǎn)評：本題考查了奇函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)：對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知 得到f（x）在（-

1

2

，0）和（

1

2

，+∞）上函數(shù)值為正