Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（2，0），且橢圓C的離心率為

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若動(dòng)點(diǎn)P在直線x=-1上，過P作直線交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，且

MP

=

PN

，再過P作直線l⊥MN．證明：直線l恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用點(diǎn)（2，0）在橢圓C上，代入求出a，利用橢圓C的離心率為

1

2

，即可求出b，從而可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）分類討論，當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y-y₀=k（x+1），與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合

MP

=

PN

，求出MN的斜率，利用直線l⊥MN，可得直線l的斜率，從而得到直線l的方程，即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：因?yàn)辄c(diǎn)（2，0）在橢圓C上，所以

4

a2

+

0

b2

=1，所以a²=4，…（1分）
因?yàn)闄E圓C的離心率為

1

2

，所以

c

a

=

1

2

，即

a2-b2

a2

=

1

4

，…（2分）
解得b²=3，…（4分）
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（5分）
（Ⅱ）證明：設(shè)P（-1，y₀），y0∈(-

3

2

 ， 

3

2

)，
①當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y-y₀=k（x+1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

3x2+4y2=12  y-y0=k(x+1)

得(3+4k2)x2+(8ky0+8k2)x+(4

y

2 0

+8ky0+4k2-12)=0，…（7分）
所以x1+x2=-

8ky0+8k2

3+4k2

，…（8分）
因?yàn)?span id="1jaezu3" class="MathJye">

MP

=

PN

，即P為MN中點(diǎn)，所以

x1+x2

2

=-1，即-

8ky0+8k2

3+4k2

=-2．
所以kMN=

3

4y0

 (y0≠0)，…（9分）
因?yàn)橹本�l⊥MN，所以kl=-

4y0

3

，所以直線l的方程為y-y0=-

4y0

3

(x+1)，
即y=-

4y0

3

(x+

1

4

)，顯然直線l恒過定點(diǎn)(-

1

4

 ， 0)．…（11分）
②當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，直線MN的方程為x=-1，
此時(shí)直線l為x軸，也過點(diǎn)(-

1

4

 ， 0)．…（13分）
綜上所述直線l恒過定點(diǎn)(-

1

4

 ， 0)．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定直線l的方程是關(guān)鍵．