（14分）已知函數(shù)在處取得極值。
（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若關(guān)于的方程在上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明：。參考數(shù)據(jù)：。
(Ⅰ)   (Ⅱ)   （Ⅲ）略
解：（1）又由已知得
（2）由（1）得令
則
當(dāng)變化時(shí)情況如下




1

2

+
0
—
0
+
 


極大值

極小值



方程在上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

（Ⅲ）法（一）轉(zhuǎn)化為數(shù)列通項(xiàng)問題，構(gòu)造函數(shù)
設(shè)
當(dāng)時(shí)有（可以是分析過程）
設(shè)則恒成立
即在上是增函數(shù)


法（二）數(shù)學(xué)歸納法：
（1）當(dāng)n=2時(shí)(2)假設(shè)n=k(k>1)時(shí)命題成立，
則n=k+1時(shí)只要證明即可
即證：
即證
設(shè)則
即在上是增函數(shù)
即n=k+1時(shí)命題成立
由（1）（2）可知對(duì)任意命題成立。
導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的綜合運(yùn)用：通常有兩個(gè)途徑：（1）構(gòu)造函數(shù)、研究其單調(diào)性、極值，將目標(biāo)轉(zhuǎn)化成兩個(gè)數(shù)列的和，比較通項(xiàng)完成（2）數(shù)學(xué)歸納法。
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).（1）若時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的不等式恒成立，試求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知，是的導(dǎo)數(shù)，若的展開式中的系數(shù)大于的展開式中的系數(shù)，則的取值范圍是：
A．或B．C．D．或

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)A（0，1對(duì)稱.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在（1，3）上單調(diào)遞增在 上單調(diào)遞減，且函數(shù)圖象在處的切線與直線垂直．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)、、的值；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本題滿分14分）
設(shè)函數(shù)，。
（1）若，過兩點(diǎn)和的中點(diǎn)作軸的垂線交曲線于點(diǎn)，求證：曲線在點(diǎn)處的切線過點(diǎn)；
（2）若，當(dāng)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

設(shè)函數(shù)f（x）=x2+a
x
的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且f′（1）=3，則實(shí)數(shù)a=______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知函數(shù)f（x）=-cosx+lnx，則f′（1）的值為（　�。�
A．sin1-1B．1-sin1C．1+sin1D．-1-sin1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知函數(shù)連續(xù)，則常數(shù)的值是(     )
A．２　　B．３　　C．４　　D．５

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