Question

已知函數(shù)f（x）=sin²wx+

3

sinwxsin（wx+

π

2

）（w＞0）的最小正周期為π．
（1）求w的值；
（2）若不等式f（x）≥m對x∈[0，

2π

3

]都成立，求m的最大值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）首先對三角關系式進行恒等變換，以函數(shù)的周期為突破口，進一步確定函數(shù)的解析式．
（2）利用（1）的結論，根據(jù)函數(shù)的定義域確定函數(shù)的值域，進一步利用恒成立問題，求出m的值．

解答： 解：（1）f（x）=sin²wx+

3

sinwxsin（wx+

π

2

）=

1-cos2ωx

2

+

3 sin2ωx

2

=sin(2ωx-

π

6

)+

1

2

由于函數(shù)的周期為：π
則：T=

2π

2ω

=π
所以：ω=1
（2）由（1）得：f（x）=sin(2x-

π

6

)+

1

2

已知x∈[0，

2π

3

]
所以：-

π

6

≤2x-

π

6

≤

7π

6

則：-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1
0≤f（x）≤

3

2

不等式f（x）≥m對x∈[0，

2π

3

]都成立
只需滿足m≤f（x）_min即可
則：m≤0，即：m的最大值為0．

點評：本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的恒等變換，利用函數(shù)的周期確定函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的定義域求三角函數(shù)的值域，恒成立問題的應用．