Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+ax+a+2，x∈[0，1]，
（1）求函數(shù)的最小值g（a）．
（2）當(dāng)g（a）=2時，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)f（x）=x²+ax+a+2的圖象，按-

a

2

≤0、0＜-

a

2

＜1和-

a

2

≥1三種情況，分別根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性加以討論，可得各種情況下函數(shù)的最小值，最后綜合可得函數(shù)的最小值g（a）的表達(dá)式．
（2）在（1）的結(jié)論下，分別解關(guān)于a的方程g（a）=2，將解出的a值與大前提加以比較，即可得到當(dāng)g（a）=2時，只有a=2符合題意．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=x²+ax+a+2的圖象是開口向上的拋物線，
關(guān)于直線x=-

a

2

對稱
．∴當(dāng)-

a

2

≤0時，即a≥0時，函數(shù)在[0，1]上是增函數(shù)，
此時函數(shù)的最小值g（a）=f（0）=a+2；
當(dāng)0＜-

a

2

＜1時，即-2＜a＜0時，函數(shù)的最小值g（a）=f（-

a

2

）=-

a2

4

+a+2；
當(dāng)-

a

2

≥1時，即a≤-2時，函數(shù)在[0，1]上是減函數(shù)，
此時函數(shù)的最小值g（a）=f（1）=2a+3
綜上所述，可得 g（a）=

2a+3  (a≤-2) - a2 4 +a+2    (-2＜x＜0) a+2        (a≥0)

（2）由（1），得
①當(dāng)a≤-2時，2a+3=2，解之得a=-

1

2

，不符合題意
②當(dāng)-2＜a＜0時，-

a2

4

+a+2=2，解之得a=0或4，不符合題意
③當(dāng)a≥0時，a+2=2，解之得a=0
綜上所述，當(dāng)g（a）=2時，求a的值為0．

點評：本題求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值，并解關(guān)于a的方程．著重考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性與最值求法等知識，屬于中檔題．