Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+bx的圖象為曲線E．
（1）若a=3，b=-9，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若曲線E上存在點P，使曲線E在P點處的切線與x軸平行，求a，b的關(guān)系．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）若a=3，b=-9，利用函數(shù)的極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求函數(shù)f（x）的極值；
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出對應(yīng)的切線方程的斜率，建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．．

解答： 解：（1）若a=3，b=-9，則f（x）=x³-3x²-9x
∴f′（x）=3x²-6x-9，
則由f′（x）=3x²-6x-9＞0，解得x＞3或x＜-1，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）=3x²-6x-9＜0，解得-1＜x＜3，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=-1時，函數(shù)f（x）取得極大值f（-1）=5，
當(dāng)x=3時，函數(shù)f（x）取得極小值f（3）=-27．
（2）∵f（x）=x³-ax²+bx，
∴f′（x）=3x²-2ax+b，
設(shè)切點P（x₀，y₀），
則在P點處的切線斜率k=f′（x₀）=3x₀²-2ax₀+b，
∵在P點處的切線與x軸平行，
∴k=f′（x₀）=3x₀²-2ax₀+b=0有兩個解，
則判別式△=4a²-12b≥0，
即a²≥3b．

點評：本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．