Question

（2009•閔行區(qū)二模）課本中介紹了諾貝爾獎(jiǎng)，其發(fā)放方式為：每年一次，把獎(jiǎng)金總金額平均分成6份，獎(jiǎng)勵(lì)在6項(xiàng)（物理、化學(xué)、文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生理學(xué)和醫(yī)學(xué)、和平）為人類(lèi)作出了最有益貢獻(xiàn)的人．每年發(fā)放獎(jiǎng)金的總金額是基金在該年度所獲利息的一半，另一半利息用于增加基金總額，以便保證獎(jiǎng)金數(shù)逐年遞增．資料顯示：1998年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)獎(jiǎng)后基金總額已達(dá)19516萬(wàn)美元，假設(shè)基金平均年利率為
r=6.24%．
（1）請(qǐng)計(jì)算：1999年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)獎(jiǎng)后基金總額為多少萬(wàn)美元？當(dāng)年每項(xiàng)獎(jiǎng)金發(fā)放多少萬(wàn)美元（結(jié)果精確到1萬(wàn)美元）？
（2）設(shè)f（x）表示為第x（x∈N^*）年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)獎(jiǎng)后的基金總額（1998年記為f（1）），試求函數(shù)f（x）的表達(dá)式．并據(jù)此判斷新民網(wǎng)一則新聞“2008年度諾貝爾獎(jiǎng)各項(xiàng)獎(jiǎng)金高達(dá)168萬(wàn)美元”是否與計(jì)算結(jié)果相符，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意先求得1999年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)獎(jiǎng)后基金總額和每項(xiàng)獎(jiǎng)金發(fā)放額即可；
（2）由題意先求得f（1），f（2）和f（3），結(jié)合指數(shù)式的特點(diǎn)，由此歸納出f（x）的表達(dá)式，再計(jì)算出2007年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)放后基金總額及2008的度諾貝爾獎(jiǎng)各項(xiàng)金額發(fā)現(xiàn)與168萬(wàn)美元相比少了約34萬(wàn)美元，從而判斷出新聞的真實(shí)性．

解答：解：（1）由題意知：1999年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)獎(jiǎng)后基金總額為
19516×(1+6.24%)-

1

2

×19516×6.24%=20124.8992≈20125萬(wàn)美元；  （3分）
每項(xiàng)獎(jiǎng)金發(fā)放額為

1

6

×(

1

2

×19516×6.24%)=101.4832≈101萬(wàn)美元；  （6分）
（2）由題意知：f（1）=19516，
f(2)=f(1)•(1+6.24%)-

1

2

•f(1)•6.24%=f（1）•（1+3.12%），
f(3)=f(2)•(1+6.24%)-

1

2

•f(2)•6.24%=f（2）•（1+3.12%）=f（1）•（1+3.12%）²
所以，f（x）=19516•（1+3.12%）^x-1（x∈N^*）．（5分）
2007年諾貝爾獎(jiǎng)發(fā)獎(jiǎng)后基金總額為f（10）=19516•（1+3.12%）⁹
2008年度諾貝爾獎(jiǎng)各項(xiàng)獎(jiǎng)金額為

1

6

×

1

2

×f(10)×6.24%≈134萬(wàn)美元，
與168萬(wàn)美元相比少了34萬(wàn)美元，計(jì)算結(jié)果與新聞不符．（8分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、函數(shù)值、歸納推理等，屬于基礎(chǔ)題．解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．