已知函數(shù)，（a為實數(shù)）．

（1） 當(dāng)a=5時，求函數(shù)在處的切線方程；

（2） 求在區(qū)間（）上的最小值；

（3） 若存在兩不等實根，使方程成立，求實數(shù)a的取值范圍．

 

【答案】

（1）；（2）當(dāng)時, ，當(dāng)時, ；（3）.

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，同時考查分類討論等綜合解題能力.第一問，先將代入，確定的解析式，利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，利用求切點的縱坐標(biāo)，即可得出切線方程；第二問，先對求導(dǎo)，令，解出單調(diào)區(qū)間如表格，下面需討論t的取值范圍，分2種情況，當(dāng)和時判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷最小值；第三問，將問題轉(zhuǎn)化為與兩個圖像有交點，對函數(shù)求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，最小值為，而最大值在和中取得，需作出比較和的大小，來判斷出最大值，最后令a在最大值與最小值之間，注意數(shù)形結(jié)合判斷端點處是否符合題意.

試題解析：（1）當(dāng)時,. 1分

，故切線的斜率為. 2分

所以切線方程為:,即. 4分

（2）,

單調(diào)遞減

極小值(最小值)

單調(diào)遞增

6分

①當(dāng)時,在區(qū)間上為增函數(shù),

所以 7分

②當(dāng)時,在區(qū)間上為減函數(shù),在區(qū)間上為增函數(shù),

所以 8分

（3） 由，可得：， 9分

,

令, .

單調(diào)遞減

極小值(最小值)

單調(diào)遞增

10分

,, .

. 11分

實數(shù)的取值范圍為 . 12分

考點：1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值.

 

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：天津市十二區(qū)縣重點學(xué)校2012屆高三畢業(yè)班聯(lián)考(二)數(shù)學(xué)文科試題 題型：044

已知函數(shù)，其中a為實數(shù)．

(Ⅰ)當(dāng)時，求函數(shù)f(x)的極大值點和極小值點；

(Ⅱ)若對任意a∈(2，3)及x∈[1，3]時，恒有ta2－f(x)＞成立，求實數(shù)t的取值范圍．

(Ⅲ)已知g(x)＝a2x2＋ax＋1，m(x)＝x3－(a2＋)x2＋(2a＋5)x－3，h(x)＝f(x)＋m(x)，設(shè)函數(shù)是否存在a，對任意給定的非零實數(shù)x1，存在惟一的非零實數(shù)x2(x2≠x1)，使得(x2)＝(x1)成立？若存在，求a的值；若不存，請說明理由．

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已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為實數(shù)，.

（Ⅰ）若在區(qū)間［-1，1］上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求經(jīng)過點且與曲線相切的直線的方程；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，試判斷函數(shù)的極值點個數(shù)。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆湖北省高二下學(xué)期期中理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（14分）已知函數(shù)，其中a為實數(shù)。

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)對定義域內(nèi)的任意x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。

（3）證明，對于任意的正整數(shù)m，n，不等式恒成立。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)數(shù)學(xué)公式，其中a為實數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）≥0對定義域內(nèi)的任意x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）證明：對任意的正整數(shù)m，n，不等式數(shù)學(xué)公式恒成立．

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